初二数学(二次根式和勾股定理)

QZP——初二数学二次根式一．二次根式的意义及性质：题组1：形如（）的式子叫做二次根式。注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。跟踪练习：1．下列各式中一定是二次根式的是（）A．21x−−B．25C．4−D．1x−2．下列各式中，是二次根式的有_____________________________。（填序号）①7；②9；③2a；④22x+；⑤3−；⑥()25−；⑦221x−−；⑧221n+；⑨21x+；⑩39；3．下列各式中，是二次根式的有_____________________。（填序号）①a；②a−；③22a；④2a−；⑤21a−−；⑥21a+；⑦53；4．若01x，则下列各式中，是二次根式的是（）A．1x−B．2x−C．21xx−D．1x−−题组2：（二次根式有意义的条件）1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。2.二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。1．当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？（1）2a+___________；（2）3a−__________；（3）5a_________；（4）a−______。2．当x是什么值时，下列各式在实数范围内有意义？（1）32x−______；（2）121x−______；（3）421xx−+_________；（4）23x+_______；3．已知225yxx=−+−+，则2xy−的值是_______________。题组3：（二次根式的性质：0a≥）（）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。跟踪练习：1．若|2|30xy++−=，则3xy−的值是_________；2．若212xy−=−+，则()1213xy⋅−=−的值是___________。题组4：（二次根式的性质：()2(0)aaa=≥，2||aa=）（）文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若，则QZP——初二数学，如：，.文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。注：1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即；2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义；3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。与的异同点：1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。但与都是非负数，即，。因而它的运算的结果是有差别的，，而2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而.跟踪练习：1．计算：()23=_____；()232=_______；()20.2−=______；223=_______；2．在实数范围内因式分解：（1）22x−=_________________；（2）49x−=________________。3．20.3=______；223−=________；210−=_______；()23.14π−=___________。4．若()21221xx−=−，则x的取值范围是____________。5．若()23232xx−=−，则x的取值范围是____________。6．已知,,abc是三角形的三边，则()()22abcabc−−−+−的值为（）A．2bB．2b−C．2ac+D．22ca−7．已知18n−是整数，则自然数n的值是____________。若32n是整数，则正整数n的最小值是_________。二．二次根式的运算：题组5：（abab⋅⇔（0a≥，0b≥）；aabb⇔（0a≥，0b））1．化简：12=_____；24=_____；18=_____；28=_____；32=_____；40=_____；2．化简：38ab=_______；2316abc=___________；4y=_______；4512abc=_________。3．化简：23=_____；315=______；320=_______；223=_____；12a=______；题组6：（最简二次根式和同类二次根式）1、最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不含根式2、同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式1.把下列各式化成最简二次根式：QZP——初二数学（1）833（2）224041−（3）2255m（4）224yxx+2.下列各式中哪些是同类二次根式：（1）75，271，12，2，501，3，101；（2）,533cba323cba，4cab，abca题组7：（乘除法计算）1．61520××2．182075××3．8151354273−××4．27506×÷5．3212524×÷6．()3513224aaa×−÷题组8：（加减法）1．925aa+2．8045−3．121263483−+4．()1240.568+−−5．()189827+−6．()()132322724+−+题组9：（混合运算）1．()836+×2．()423622−÷3．()12583+×4．1486274+÷5．()2483276−÷6．()()5352++QZP——初二数学三、分母有理化有两种方法I.分母是单项式II.分母是多项式要利用平方差公式注意：1.根式中不能含有分母2.分母中不能含有根式。跟踪练习：1已知：132−=x，求12+−xx的值。2..已知:x=2323,2323−+=+−y，求代数式3x2－5xy+3y2的值。3.211+＋321+＋431+＋…＋100991+四．关于求二次根式的整数部分与小数部分的问题1.估算31－2的值（）A．在1和2之间B．在2和3之间C．在3和4之间D．在4和5之间2．若3的整数部分是a，小数部分是b，则=−ba33.已知9+13913−与的小数部分分别是a和b，求ab－3a+4b+8的值4.若a，b为有理数，且8+18+81=a+b2，则ba=.五．二次根式的比较大小（1）3220051和（2）－5566−和（3）13151517−−和（倒数法）QZP——初二数学勾股定理基础知识点：１．勾股定理2．勾股定理的逆定理3．勾股数4．勾股定理、逆定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．经典例题精讲题型一：直接考查勾股定理例１.在ABC∆中，90C∠=°．⑴已知6AC=，8BC=．求AB的长⑵已知17AB=，15AC=，求BC的长分析：直接应用勾股定理222abc+=解：⑴2210ABACBC=+=⑵228BCABAC=−=题型二：利用勾股定理测量长度例题1如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？解析：这是一道大家熟知的典型的“知二求一”的题。把实物模型转化为数学模型后，.已知斜边长和一条直角边长，求另外一条直角边的长度，可以直接利用勾股定理！根据勾股定理AC2+BC2=AB2,即AC2+92=152,所以AC2=144,所以AC=12.CBDAQZP——初二数学例题2如图（8），水池中离岸边D点1.5米的C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好落到D点，并求水池的深度AC.解析：同例题1一样，先将实物模型转化为数学模型，如图2.由题意可知△ACD中,∠ACD=90°,在Rt△ACD中，只知道CD=1.5，这是典型的利用勾股定理“知二求一”的类型。标准解题步骤如下（仅供参考）：解：如图2，根据勾股定理，AC2+CD2=AD2设水深AC=x米，那么AD=AB=AC+CB=x+0.5x2+1.52=（x+0.5）2解之得x=2.故水深为2米.题型三：勾股定理和逆定理并用——例题3如图4，正方形ABCD中，E是BC边上的中点，F是AB上一点，且ABFB41=那么△DEF是直角三角形吗？为什么？解析：这道题把很多条件都隐藏了，乍一看有点摸不着头脑。仔细读题会意可以发现规律，没有任何条件，我们也可以开创条件，由ABFB41=可以设AB=4a，那么BE=CE=2a,AF=3a,BF=a,那么在Rt△AFD、Rt△BEF和Rt△CDE中，分别利用勾股定理求出DF,EF和DE的长，反过来再利用勾股定理逆定理去判断△DEF是否是直角三角形。QZP——初二数学注：本题利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必练习题。题型四：利用勾股定理求线段长度——例题4如图3，已知长方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长.解析：解题之前先弄清楚折叠中的不变量。合理设元是关键。题型五：利用勾股定理逆定理判断垂直——例题5如图5，王师傅想要检测桌子的表面AD边是否垂直与AB边和CD边，他测得AD=80cm，AB=60cm，BD=100cm，AD边与AB边垂直吗？怎样去验证AD边与CD边是否垂直？解析：由于实物一般比较大，长度不容易用直尺来方便测量。我们通常截取部分长度来验证。如图4，矩形ABCD表示桌面形状，在AB上截取AM=12cm,在AD上截取AN=9cm(想想为什么要设为这两个长度？)，连结MN，测量MN的长度。①果MN=15,则AM2+AN2=MN2,所以AD边与AB边垂直；QZP——初二数学题型六：旋转问题：例1、如图，△ABC是直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，若AP=3，求PP′的长。变式1：如图，P是等边三角形ABC内一点，PA=2,PB=23,PC=4,求△ABC的边长.分析：利用旋转变换，将△BPA绕点B逆时针选择60°，将三条线段集中到同一个三角形中，根据它们的数量关系，由勾股定理可知这是一个直角三角形.变式2、如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，E、F是BC上的点，且∠EAF=45°，试探究222BECFEF、、间的关系，并说明理由.QZP——初二数学选择题1．已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）A、25B、14C、7D、7或252．Rt△一直角边的长为11，另两边为自然数，则Rt△的周长为（）A、121B、120C、132D、不能确定3．如果Rt△两直角边的比为5∶12，则斜边上的高与斜边的比为（）A、60∶13B、5∶12C、12∶13D、60∶1694．已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（）A、24cm2B、36cm2C、48cm2D、60cm25．等腰三角形底边上