函数性质的综合应用练习(含答案)

浙江省龙游中学云课堂练习集锦1第四课时函数性质的综合应用（2014-7-23）【课后作业】1.(2013·重庆)已知函数f(x)＝ax3＋bsinx＋4(a，b∈R)，f(lg(log210))＝5，则f(lg(lg2))＝()A．－5B．－1C．3D．42．已知函数f(x)＝|lgx|，若0ab，且f(a)＝f(b)，则a＋2b的取值范围是()A．(22，＋∞)B．[22，＋∞)C．(3，＋∞)D．[3，＋∞)3．设f(x)是定义在R上的偶函数，对任意的x∈R，都有f(x－2)＝f(x＋2)，且当x∈[－2,0]时，f(x)＝12x－1，若在区间(－2,6]内关于x的方程f(x)－loga(x＋2)＝0(a1)恰有3个不同的实数根，则a的取值范围是()A．(1,2)B．(2，＋∞)C．(1，34)D．(34，2)4.(2013浙江杭州一模)设函数f(x)={1-|x-1|,x∈(-∞,2),12f(x-2),x∈[2,+∞),则函数F(x)=xf(x)-1的零点的个数为()A.4B.5C.6D.75．(2014·苏州模拟)设函数f(x)＝ax＋1x＋2a在区间(－2，＋∞)上是增函数，那么a的取值范围是________．6．已知不等式x2－logax0，当x∈0，12时恒成立，实数a的取值范围是________．7．(理科)如果对任意实数x，y，都有f(x＋y)＝f(x)·f(y)，且f(1)＝2，(1)求f(2)，f(3)，f(4)的值．(2)求f2f1＋f4f3＋f6f5＋…＋f2010f2009＋f2012f2011＋f2014f2013的值．(文科)已知f(x)是二次函数，若f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1.(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数y＝f(x2－2)的值域．8．已知函数f(x)＝ax2＋(b－8)x－a－ab(a≠0)，当x∈(－3,2)时，f(x)0；当x∈(－浙江省龙游中学云课堂练习集锦2∞，－3)∪(2，＋∞)时，f(x)0.(1)求f(x)在[0,1]内的值域；(2)c为何值时，不等式ax2＋bx＋c≤0在[1,4]上恒成立？9.(2014·南通三模)定义在R上的增函数y＝f(x)对任意x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．(1)求f(0)；(2)求证：f(x)为奇函数；(3)若f(k·3x)＋f(3x－9x－2)＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．【参考答案】1、解析：∵f(x)＝ax3＋bsinx＋4，①∴f(－x)＝a(－x)3＋bsin(－x)＋4，即f(－x)＝－ax3－bsinx＋4，②①＋②得f(x)＋f(－x)＝8，③又∵lg(log210)＝lg1lg2＝lg(lg2)－1＝－lg(lg2)，∴f(lg(log210))＝f(－lg(lg2))＝5，又由③式知f(－lg(lg2))＋f(lg(lg2))＝8，∴5＋f(lg(lg2))＝8，∴f(lg(lg2))＝3.故选C.2、解析：由已知条件0a1b和f(a)＝f(b)得，－lga＝lgb，则lga＋lgb＝0，ab＝1，因此a＋2b＝a＋2a，由对勾函数知y＝x＋2x在(0,1)单调递减，得a＋2b3，即a＋2b的取值范围是(3，＋∞)．答案：C3、解析：由f(x－2)＝f(x＋2)，知f(x)是以4为周期的周期函数，于是可得f(x)在(－2,6]上的大致图象如图中实线所示，令g(x)＝loga(x＋2)(a1)，则g(x)的大致图象如图所示，结合图象可知，要使得方程f(x)－loga(x＋2)＝0(a1)在区间(－2,6]内恰有3个不同的实数根，则只需g23g63，即loga43loga83，解得34a2.4、解析:由题意,F(x)=xf(x)-1的零点个数,即f(x)与1x的交点个数.易绘x∈(-∞,2)的函数图象,且f(0)=f(2)=0,f(1)=1,f(12)=f(32)=12,浙江省龙游中学云课堂练习集锦3当x∈[2,+∞)时,f(4)=12f(2)=0,f(6)=12f(4)=0,…,依次类推,易得f(4)=f(6)=f(8)=…=f(2n)=0.又f(3)=12f(1)=12,同理f(5)=12f(3)=14,f(7)=12f(5)=18.不难绘出x∈[2,+∞)的函数图象,显然零点共6个,其中左边1个,右边5个.5、解析：f(x)＝ax＋2a2－2a2＋1x＋2a＝a－2a2－1x＋2a，其对称中心为(－2a，a)．∴2a2－1＞0－2a≤－2⇒2a2－1＞0a≥1⇒a≥1.6、解析：由x2－logax0，得x2logax.设f(x)＝x2，g(x)＝logax.由题意知，当x∈0，12时，函数f(x)的图象在函数g(x)的图象的下方，如图，可知0a1，f12≤g12，即0a1，122≤loga12，解得116≤a1.∴实数a的取值范围是116，1.7、（理科）解：(1)∵对任意实数x，y，都有f(x＋y)＝f(x)·f(y)，且f(1)＝2，∴f(2)＝f(1＋1)＝f(1)·f(1)＝22＝4，f(3)＝f(2＋1)＝f(2)·f(1)＝23＝8，f(4)＝f(3＋1)＝f(3)·f(1)＝24＝16.(2)由(1)知f2f1＝2，f4f3＝2，f6f5＝2，…，f2014f2013＝2.故原式＝2×1007＝2014.（文科）解：(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，又f(0)＝0，∴c＝0，即f(x)＝ax2＋bx.又f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1.浙江省龙游中学云课堂练习集锦4∴(2a＋b)x＋a＋b＝(b＋1)x＋1.∴2a＋b＝b＋1，a＋b＝1，解得a＝12，b＝12.∴f(x)＝12x2＋12x.(2)由(1)知y＝f(x2－2)＝12(x2－2)2＋12(x2－2)＝12(x4－3x2＋2)＝12x2－322－18，当x2＝32时，y取最小值－18.∴函数y＝f(x2－2)的值域为－18，＋∞.8、解：由题意得x＝－3和x＝2是函数f(x)的零点且a≠0，则0＝a·－32＋b－8·－3－a－ab，0＝a·22＋b－8·2－a－ab，解得a＝－3，b＝5，∴f(x)＝－3x2－3x＋18.(1)由图象知，函数在[0,1]内单调递减，∴当x＝0时，y＝18；当x＝1时，y＝12，∴f(x)在[0,1]内的值域为[12,18]．(2)法一：令g(x)＝－3x2＋5x＋c.∵g(x)在56，＋∞上单调递减，要使g(x)≤0在[1,4]上恒成立，则需要g(x)max＝g(1)≤0，即－3＋5＋c≤0，解得c≤－2.∴当c≤－2时，不等式ax2＋bx＋c≤0在[1,4]上恒成立．法二：不等式－3x2＋5x＋c≤0在[1,4]上恒成立，即c≤3x2－5x在[1,4]上恒成立．令g(x)＝3x2－5x，∵x∈[1,4]，且g(x)在[1,4]上单调递增，∴g(x)min＝g(1)＝3×12－5×1＝－2，∴c≤－2.即c≤－2时，不等式ax2＋bx＋c≤0在[1,4]上恒成立．９、解：(1)令x＝y＝0，得f(0＋0)＝f(0)＋f(0)，即f(0)＝0.(2)证明：令y＝－x，得f(x－x)＝f(x)＋f(－x)，又f(0)＝0，则有0＝f(x)＋f(－x)，即f(－x)＝－f(x)恒成立，所以f(x)是奇函数．(3)因为f(x)在R上是增函数，又由(2)知f(x)是奇函数．所以f(k·3x)＜－f(3x－9x－2)＝f(－3x＋9x＋2)，所以k·3x＜－3x＋9x＋2，即32x－(1＋k)·3x＋2＞0对任意x∈R成立．令t＝3x＞0，问题等价于t2－(1＋k)t＋2＞0对任意t＞0恒成立．令f(t)＝t2－(1＋k)t＋2，其对称轴为t＝1＋k2，当1＋k2＜0，即k＜－1时，f(0)＝2＞0，符合题意；浙江省龙游中学云课堂练习集锦5当1＋k2≥0，即k≥－1时，f(t)＞0对任意t＞0恒成立⇔1＋k2≥0，Δ＝1＋k2－4×2＜0，解得－1≤k＜－1＋22.综上所述，当k＜－1＋22时，f(k·3x)＋f(3x－9x－2)＜0对任意x∈R恒成立．