初中数学中的基本数学思想方法

初中数学中的基本数学思想方法1yx10初中数学中的基本数学思想方法学习主题具体要求典型例题数学思想（1）用字母表示数会用字母表示数，进行式的运算和讨论一些数学问题。如会列方程解应用题，会用换元法，利用整体思想达到化简解题过程或解决问题的目的等。用字母表示数的思想是数学转化思想的具体体现。1．一件工作，甲做a天能完成，乙做b天能完成，现在甲先做了c天（c﹤a），余下的工作由乙继续完成，乙需做几天可以完成全部工作？2．已知x=34求1582231822364xxxxxx的值。（2）数形结合法能运用代数、三角比知识通过数量关系的讨论去处理几何图形的问题；能运用几何、三角比知识通过对图形性质的研究去解决数量关系的问题。能将抽象的数学语言与直观的图形符号结合起来，把抽象思维与形象思维结合起来；会用代数的方法去研究几何问题，会根据图形的性质及几何知识去处理代数问题。1、已知二次函数cbxaxy2的图象如图所示，则0___42,0____,0___,0___acbcba2、如果关于x的方程05322mxx有且只有一个大于1的实数根，求m的取值范围。3．二次函数cbxaxy2如图（1）试确定c的符号及a、b、acb42的符号（2）试确定a+b+c、a-b+c的符号（3）函数思想函数所揭示的是两个变量之间的对应关系，通俗的讲就是一个量的变化引起了另一个量的变化。在数学中总是设法将这种对应关系用解析式表示出来，这样就能充分运用函数的知识、方法来解决有关的问题。1．把一块边长为20cm的正方形铁皮，四角各截去边长为xcm的小正方形，再将它折成一个无盖盒子。求这个盒子的容积V关于自变量x的函数解析式，并说明x的取值范围。2．如图在RtΔABC∠BAC=90º,AB=AC=2,点D在BC上运动（不能到达B、C），过D作∠ADE=45º，DE交AC于E。设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量取0xy初中数学中的基本数学思想方法2值范围。问当ΔADE为等腰三角形时，求AE的长。（4）方程思想学会分析问题中的数量关系,寻找已知量与未知量之间的相等关系.学会通过适当设元,列出方程或方程组,从而解决问题的一种思维方式.1.牧场的青草,每天都生长一样快,牧场的全部青草可以供给10头牛吃20天,供给15头牛吃10天,那么供给25头牛可以吃几天?2.四边形ABCD对角线相交于O点,且△ABC、△BCD、△CDA、△DAB的面积分别为5、9、10、6,求△OAB、△OBC、△OCD及△ODA的面积.ABODC（5）分类讨论思想当面临的问题不宜用一种方法处理或同一种形式叙述时，就把问题按照一定的原则或标准分为若干类，然后逐类进行讨论，再把这几类的结论汇总，得出问题的答案，这种解决问题的思想方法就是分类讨论的思想方法。分类讨论的思想方法的实质是把问题“分而治之，各个击破”。其一般规则及步骤是：（1）确定同一分类标准；（2）恰当地对全体对象进行分类，按照标准对分类做到“既不重复又不遗漏”；（3）逐类讨论，按一定的层次讨论，逐级进行；（4）综合概括小节，归纳得出结论。1．解关于x的方程0)2(222xxkxx2．已知关于x的方程x2-(k+2)x+2k=0。（1）求证：无论k取何实数值，方程总有实数根；（2）若等腰△ABC的一边长a=1,另两边长b,c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长。3．已知AB为⊙O的直径，D为直径AB上一动点（D不与点A,B重合），过D作CD⊥AB交⊙O于C，过C作⊙O的切线PC，交⊙O的切线AM于P，连PB交CD于E。（1）请根据D点的不同位置画出符合题意的图形；（2）猜想CE与DE的数量关系，并就D点的某一位置证明你的结论；（3）如果⊙O的半径为1，设点D与圆心O的距离为m，试求PC的长（可用m的代数式表示）。初中数学中的基本数学思想方法3（6）化归思想化归思想方法是处理数学问题的指导思想和一种基本策略。化归思想就是把未知问题化归为已知问题。把复杂问题化归为简单问题，把非常规问题化归为常规问题。从而使很多问题得到解决的思想。结合解题进行化归思想方法的训练的做法：1、化繁为简；2、化高维为低维；3、化抽象为具体；4、化非规范性问题为规范性问题；5、化数为形；6、化实际问题为数学问题；7、化综合为单一；8、化一般为特殊1．解方程：23xx2．已知在平面直角坐标系内，O为坐标原点，A、B是x轴正半袖上的两点，点A在点B的左侧，如图。二次函数2(0)yaxbxca的图象经过点A、B，与y轴相交于点C。(1)a、c的符号之间有何关系?(2)如果线段OC的长度是线段OA、OB长度的比例中项，试证a、c互为倒数；(3)在(2)的条件下，如果b=－4，AB=34求a、c的值。（7）数学模型思想所谓数学模型，是指用数学语言把实际问题概括地表述出来的一种数学结构。数学模型是对客观事物的空间形式和数量关系的一种反映。它可以是方程、函数或其他数学式子，也可以是一个几何基本图形。利用数学模型解决问题的一般数学方法就是数学模型方法。它的基本步骤如下图所示：数学抽象数学抽象演算推理演设计一条隧道，要使高4米，宽4米的巨型载重车辆能单向通过，隧道上的纵断面是如图抛物线状的拱，拱宽是高的4倍，求拱宽可以取得的最小整数值。（单位：米；5≈2.236）实际问题数学模型数学模型的解实际问题的解yxBACFDEOxB初中数学中的基本数学思想方法4（8）分解组合思想能把在内容和形式上，和教材上的公式、定理所需要具备的条件不完全一样的数学问题，通过对问题的分解、拆割，或者合成、拼补等手段，将问题转化为符合公式、定理所要求的形式，并运用公式、定理来加以解决。1、因式分解：222222babayxyx；2、将两块三角板如图放置，其中,6,30,45,90DEABEAEDBC求重叠部分的面积。（9）图形运动思想初中图形运动包含平移、翻折和旋转，能通过实验、操作、观察和想象掌握运动的本质，在图形的运动中找到不变量，然后解决问题。把一张边长为2的正方形纸片ABCD折叠，使B落在AD上（不和A、B重合），MN为折痕，设'AB＝a。求：（1）折起部分面积；（2）折痕MN的长。（用a的代数式表示）数学方法（1）待定系数法熟练掌握待定系数法的基本思想和步骤，会求解一些需要确定系数的问题，尤其是确定函数解析式，或者会利用系数证明一些问题。1．已知二次函数的图像顶点坐标为（2，5）它在y轴上的截距是－7，求这个二次函数。2．已知抛物线y=2x－(a+b)x＋241c,a、b、c分别是⊿ABC中∠A、∠B、∠C的对边。(1)求证：该抛物线与x轴必有两个交点；(2)设抛物线与x轴的两个交点为P、Q，顶点为R，∠PQR=α，tgα=5，⊿ABC的周长为10，求抛物线的解析式；(3)设直线y=ax－bc与抛物线交于点E、F，与y轴交于点M，抛物线与y轴交于点N，若抛物线的对称轴为x=a，⊿MNE与⊿MNF的面积之比为5：1，试判断⊿ABC的形状，并证明你的结论。'BABCDMN'C初中数学中的基本数学思想方法5（2）配方法学会通过凑、配等手段得到完全平方、完全立方等形式，再利用完全平方项是非负数等性质，达到增加题目的条件等目的。主要用在多元代数式求值，无理式的证明和化简以及求解方程。1．若实数x、y、z满足zyxzyx)21(4求x、y、z的值。2、已知关于x的方程0)2443()1(2222babaxax有实根。求a、b的值。（3）换元法会用新的未知数去替换原条件中的旧未知数或数字或代数式，使较为复杂的多项式结构简化，以达到简化解题过程的目的，是体现数学转化思想的具体体现。6252.122xxxx解方程）＋＋＋（计算199913121)2000131211()200013121)(1999131211(.2(4)判别式法会用判别式去处理一元二次方程、二次函数、二次三项式等方面问题把二次三项式、一元二次方程、分式方程、无理方程、二次函数求最值等问题，利用一元二次方程的判别式来进行求解。1．不解方程，判别下列方程的根的情况：（1）03425xx（2）01223xx（3）xx623222．已知：二次函数322)1(22mmxmxy其中m为实数。(1)求证：不论m取何实数，这个二次函数的图象与x轴必有两个交点；(2)设这个二次函数的图象与x轴交于点A)0,1(x、B)0,2(x，且12xx、的倒数和为32，求这个二次函数的解析式。