专题13 双曲线（解析版）

资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】专题13双曲线目录一览2023真题展现考向一双曲线的离心率真题考查解读近年真题对比考向一双曲线的渐近线方程命题规律解密名校模拟探源易错易混速记/二级结论速记考向一双曲线的离心率1．（2023•新高考Ⅰ•第16题）已知双曲线C：𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2．点A在C上，点B在y轴上，𝐹1𝐴→⊥𝐹1𝐵→，𝐹2𝐴→=−23𝐹2𝐵→，则C的离心率为．【答案】3√55解：（法一）如图，设F1（﹣c，0），F2（c，0），B（0，n），设A（x，y），则𝐹2𝐴→=(𝑥−𝑐，𝑦)，𝐹2𝐵→=(−𝑐，𝑛)，又𝐹2𝐴→=−23𝐹2𝐵→，则{𝑥−𝑐=23𝑐𝑦=−23𝑛，可得𝐴(53𝑐，−23𝑛)，又𝐹1𝐴→⊥𝐹1𝐵→，且𝐹1𝐴→=(83𝑐，−23𝑛)，𝐹1𝐵→=(𝑐，𝑛)，则𝐹1𝐴→⋅𝐹1𝐵→=83𝑐2−23𝑛2=0，化简得n2＝4c2．又点A在C上，则259𝑐2𝑎2−49𝑛2𝑏2=1，整理可得25𝑐29𝑎2−4𝑛29𝑏2=1，代n2＝4c2，可得25𝑐2𝑎2−16𝑐2𝑏2=9，即25𝑒2−16𝑒2𝑒2−1=9，解得𝑒2=95或15（舍去），故𝑒=3√55．资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（法二）由𝐹2𝐴→=−23𝐹2𝐵→，得|𝐹2𝐴→||𝐹2𝐵→|=23，设|𝐹2𝐴→|=2𝑡，|𝐹2𝐵→|=3𝑡，由对称性可得|𝐹1𝐵→|=3𝑡，则|𝐴𝐹1→|=2𝑡+2𝑎，|𝐴𝐵→|=5𝑡，设∠F1AF2＝θ，则𝑠𝑖𝑛𝜃=3𝑡5𝑡=35，所以𝑐𝑜𝑠𝜃=45=2𝑡+2𝑎5𝑡，解得t＝a，所以|𝐴𝐹1→|=2𝑡+2𝑎=4𝑎，|𝐴𝐹2→|=2𝑎，在△AF1F2中，由余弦定理可得𝑐𝑜𝑠𝜃=16𝑎2+4𝑎2−4𝑐216𝑎2=45，即5c2＝9a2，则𝑒=3√55．【命题意图】考查双曲线的定义、标准方程、几何性质、直线与双曲线．考查运算求解能力、逻辑推导能力、分析问题与解决问题的能力、数形结合思想、化归与转化思想．【考查要点】双曲线的定义、方程、性质是高考常考内容，以小题出现，常规题，难度中等．【得分要点】一、双曲线的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．注：1、集合语言表达式双曲线就是下列点的集合:1212{|||||||2,02||}PMMFMFaaFF.常数要小于两个定点的距离．2、对双曲线定义中限制条件的理解(1)当||MF1|－|MF2||＝2a＞|F1F2|时，M的轨迹不存在．(2)当||MF1|－|MF2||＝2a＝|F1F2|时，M的轨迹是分别以F1，F2为端点的两条射线．(3)当||MF1|－|MF2||＝0，即|MF1|＝|MF2|时，M的轨迹是线段F1F2的垂直平分线．(4)若将定义中的绝对值去掉，其余条件不变，则动点的轨迹为双曲线的一支．具体是哪一支,取决于1||MF与2||MF的大小.资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】①若12||||MFMF,则12||||0MFMF,点M的轨迹是靠近定点2F的那一支;②若12||||MFMF,则21||||0MFMF,点M的轨迹是靠近定点1F的那一支.二、双曲线的方程及简单几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a0，b0)y2a2－x2b2＝1(a0，b0)性质图形焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝2c范围x≤－a或x≥a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)轴实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b；半实轴长：a，半虚轴长：b离心率e＝ca∈(1，＋∞)渐近线y＝±baxy＝±abx三、双曲线的焦点三角形双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用双曲线的定义和正弦定理、余弦定理．以双曲线)0,0(12222babyax上一点P(x0，y0)(y0≠0)和焦点F1(－c,0)，F2(c,0)为顶点的△PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，则(1)双曲线的定义：aPFPF2||||||21(2)余弦定理：221||FF＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cosθ.(3)面积公式：S△PF1F2＝12|PF1||PF2|·sinθ，重要结论：S△PF1F2=2tan2b资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】推导过程：由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cosθ得2224||-|||-2||||(1cos121cPFPFPFPF（|））2212442||||(1cos)caPFPF2122||||1cosbPFPF由三角形的面积公式可得S△PF1F2=121|PF||PF|sin2=222222sincos12sin22sin21cos1cos2sintan22bbbb四、直线与双曲线的位置关系1、把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2＋bx＋c＝0的形式，在a≠0的情况下考察方程的判别式．(1)Δ0时，直线与双曲线有两个不同的公共点．(2)Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点．(3)Δ0时，直线与双曲线没有公共点．当a＝0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点．注：直线与双曲线的关系中：一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支．2、弦长公式直线被双曲线截得的弦长公式，设直线与椭圆交于11(,)Axy，22(,)Bxy两点，则2222221212121212122211=1+k1+k41+1+4kkABxxxxxxyyyyyy（k为直线斜率）3、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于A、B两点，则弦长abAB22||.考向一双曲线的渐近线方程2．（2021•新高考Ⅱ）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率e＝2，则该双曲线的渐近线方程为．资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解答】解：∵双曲线的方程是，∴双曲线渐近线为y＝又∵离心率为e＝＝2，可得c＝2a∴c2＝4a2，即a2+b2＝4a2，可得b＝a由此可得双曲线渐近线为y＝故答案为：y＝查考近几年真题推测以小题出现，常规题，难度中等．双曲线的定义、方程、性质是高考常考内容，一．双曲线的标准方程（共5小题）1．（2023•郑州模拟）已知双曲线（a＞0，b＞0）的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（）A．x±y＝0B．C．D．2x±y＝0【解答】解：∵双曲线的方程是（a＞0，b＞0），∴双曲线渐近线为y＝±x．又∵离心率为e＝＝2，∴c＝2a，∴b＝＝a，由此可得双曲线渐近线为y＝±x＝±x，即：故答案为：．故选：C．2．（2023•宝山区校级模拟）若双曲线经过点，且渐近线方程是，则这条双曲线的方程是．【解答】解：根据题意，双曲线的渐近线方程是，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则可设双曲线的标准方程为，（λ≠0）；又因为双曲线经过点，代入方程可得，λ＝﹣1；故这条双曲线的方程是；故答案为：．3．（2023•通州区模拟）双曲线的焦点坐标为（）A．（±1，0）B．（±，0）C．（±，0）D．（±，0）【解答】解：双曲线，可知a＝，b＝1，c＝，所以双曲线的焦点坐标为（，0）．故选：C．4．（2023•西山区校级模拟）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．2【解答】解：双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则tan＝，所以该条渐近线方程为y＝x；所以＝，解得a＝；所以c＝＝＝2，所以双曲线的离心率为e＝＝＝．故选：A．5．（2023•青羊区校级模拟）已知双曲线的右焦点为F，O为坐标原点，以OF为直径的圆与双曲线C的一条渐近线交于点O及点，则双曲线C的方程为（）资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．B．C．D．【解答】解：由双曲线的方程可得渐近线的方程：y＝x，因为A（，）在渐近线上，故＝所以a＝，又A在以OF为直径的圆上，所以OA⊥AF，所以AF2+OA2＝OF2，即（﹣c）2+（）2+（）2+（）2＝c2解得：c＝2，a＝，b＝1，所以双曲线的方程为：﹣y2＝1，故选：C．二．双曲线的性质（共33小题）6．（2023•天山区校级模拟）已知双曲线（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1、F2，过F2且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△F1AB为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为（）A．2B．C．D．【解答】解：已知双曲线的左右焦点分别为F1、F2，过F2且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△F1AB为等腰直角三角形，此时|AF1|＝|BF1|，且∠AF1B＝90°，因为∠AF1F2＝∠BF1F2＝45°，而|AF2|＝|F1F2|，则，即b2＝2ac，①又b2＝c2﹣a2，②联立①②，解得，因为e＞1，所以．故选：C．资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】7．（2023•朝阳区一模）过双曲线的右焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为A．若∠AFO＝2∠AOF（O为坐标原点），则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．或2【解答】解：在Rt△AFO中，因为∠AFO＝2∠AOF，所以∠AOF＝30°，则，所以，故选：B．8．（2023•博白县模拟）已知F1，F2分别是双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为双曲线右支上一点，若∠F1PF2＝60°，＝ac，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．2【解答】解：设PF1＝m，PF2＝n，则＝＝ac，∴mn＝4ac，由余弦定理可得：|F1F2|2＝4c2＝m2+n2﹣mn＝（m﹣n）2+mn，由双曲线的定义可知m﹣n＝2a，∴4c2＝4a2+4ac，即c2﹣a2＝ac，∴e2﹣e﹣1＝0，解得e＝或e＝（舍）．故选：A．9．（2023•郑州模拟）点（4，0）到双曲线Γ：的一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．5【解答】解：由题意可得双曲线的一条渐近线为：ay﹣bx＝0，所以（4，0）到ay﹣bx＝0的距离为，不妨设b＝4m（m＞0），则．资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故选：C．10．（2023•武鸣区校级二模）双曲线x2﹣＝1的焦点坐标为（）A．（±1，0）B．（0，±）C．（±，0）D．（0，±1）【解答】解：根据题意，双曲线的方程为x2﹣＝1，其中a＝1，b＝，其焦点在x轴上，则c＝＝，所以双曲线的焦点坐标为（±，0）；故选：C．11．（2023•河南模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，P是双曲线C的一条渐近线上的点，且线段PF1的中点M在另一条渐近线上．若∠PF2F1＝45°，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．2D．【解答】解：因为M，O分别是PF1，F1F2的中点，所以MO∥PF2，又∠PF2F1＝45°，所以∠MOF1＝45°，即，所以a＝b，故．故选：A．12．（2023•源汇区校级模拟）已知F1、F2分别为双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为双曲线右支上任意一点，若的最小值为2c，c＝，则该双曲线的离心率是（）A．3B．4C．D．【解答】解：由双曲线的性质可得|PF1|＝2a+|PF2|，所以|PF1|2＝4a2+4a|PF2|+|PF2|2，所以＝|PF2|++4a≥2+4a＝8a，由题意可2c＝8a，即c＝4a，所以双曲线的离心率为e＝＝4．资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故选：B．13．（2023•四川模拟）已