3.1 函数的概念及其表示（精讲）（教师版）

3.1函数的概念及其表示（精讲）一．函数的概念一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，使在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A．二．函数的三要素1.定义域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；2.值域：与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．3.解析式三．函数的表示法常用方法有解析法、图象法和列表法四．相等函数如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等．五．分段函数1.若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．2.分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．一．函数概念的理解(1)函数的定义要求第一个非空数集A中的任何一个元素在第二个非空数集B中有且只有一个元素与之对应，即可以“多对一”，不能“一对多”，而B中有可能存在与A中元素不对应的元素．(2)构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同．二．常见函数定义域的类型1.分式型：1f（x）要满足f(x)≠0（分式中分母不为零）2.根式型：开偶次方根时，被开方数大于等于0即2nf（x）(n∈N*)要满足f(x)≥0；3.幂函数型：[f(x)]0要满足f(x)≠0；4.对数型：logaf(x)(a0，且a≠1)要满足f(x)0；5.正切型：tan[f(x)]要满足f(x)≠π2＋kπ，k∈Z．注意事项：①不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化；②定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．二．抽象函数的定义域的求法（对应法则不变，括号内等范围）1.若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出；2.若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．三．函数解析式的求法1.配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式．2.待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法．3.换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．4.解方程组：已知关于f(x)与f1x或f(－x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．四．值域1.分离常数法：分子分母同类型函数（形如y=）或分子分母最高次是二次关系（形如）(至少有一个不为零)的函数,求其值域可用此法.①→分离常数→反比例函数模型②→分离常数→模型③→同时除以分子：→②的模型④→分离常数→③的模型共同点：让分式的分子变为常数2.配方法：形如型,用此种方法,注意自变量x的范围3.不等式法4.单调性法：若是上的单调增(减)函数,则,分别是在区间上取得最小(大)值,最大(小)值.5.换元法①：此类问题通常以指对，三角作为主要结构，在求值域时可axbcxd2axbxeycxdca,axbycxd2axbxcydxeayxx2dxeyaxbxc21yaxbxcdxe22axbxcydxexf2(0)yaxbxca)(xf],[ba)(af)(bf)(xf],[ba,log,sinfxayayfxyfx先确定的范围，再求出函数的范围.②：此类函数的解析式会充斥的大量括号里的项，所以可利用换元将解析式转为的形式，然后求值域即可.③形如型,可用此法求其值域.6.数形结合法：即作出函数的图象，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域，以下函数常会考虑进行数形结合.7.导数法．利用导数与函数的连续性求图复杂函数的极值和最值,然后求出值域五．分段函数1.求函数值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f[f(a)]的形式时，应从内到外依次求值．2.求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．3.求参数或自变量的值：先在分段函数的各段上分别求解，然后将求出的值或范围与该段函数的自变量的取值范围求交集，最后将各段的结果合起来(取并集)即可．考法一函数的概念【例1-1】（2023广东湛江）下列变量之间是函数关系的是（）A．某十字路口通过汽车的数量与时间的关系B．家庭的食品支出与电视机价格之间的关系C．高速公路上行驶的汽车所行驶的路程与时间的关系D．某同学期中考试的数学成绩与物理成绩的关系【答案】C【解析】对于A，某十字路口通过汽车的数量与时间没有确定的关系，与其它自然因素也有关系，不是函数关系，故A错误；对于B，家庭的食品支出与电视机价格之间没有确定的关系，故B错误；对于C，高速公路上行驶的汽车所行驶的路程与时间这两个变量存在依赖关系，且对于每一个时间的值，路程是唯一确定的，因此它们之间存在函数关系，且时间是自变量，路程是因变量，故C正确；对于D，同学期中考试的数学成绩与物理成绩没有必然的关系，故D错误.fx,log,sinxayfayfxyfxyftyaxbcxd故选：C【例1-2】（2023安徽）下列各图中，不可能是函数()fx图象的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】对于C，当0,x时，任意x对应两个y，显然C错误.故选：C.【一隅三反】1．（2022·上海）下列等量关系中，y是x的函数的是（）A．221xyB．2||yxC．2yxD．22yx【答案】C【解析】A：当0x时1y，不符合函数的定义，故错误；B：当1x时1y，不符合函数的定义，故错误；C：显然任意(0,+)x都有唯一y值与之对应，满足函数的定义，故正确；D：当2x时2y，不符合函数的定义，故错误．故选：C2．（2022北京）（多选）下列图象中，能表示函数的图象的是（）A．B．C．D．【答案】ABC【解析】对于选项ABC，当 x取一个值时，有唯一y值与之对应，符合函数定义，故ABC正确；D选项，当 x取一个值时，有两个y值与之对应，不符合函数的定义，故D错误.故选：ABC3．（2023·广东深圳）（多选）下列是函数图象的是（）A．B．C．D．【答案】ABD【解析】根据函数的定义可知，定义域内的每一个x只有一个y和它对应，因此不能出现一对多的情况，所以C不是函数图象，ABD是函数图象.故选：ABD.考法二函数的定义域【例2-1】（1）（2023·河北）函数2()2log(1)fxxx的定义域是（）A．1,B．2,C．1,2D．2,（2）（2023·上海）函数1()xfxx的定义域是__．【答案】（1）D（2）[1,0)(0,)【解析】（1）要使函数()fx有意义，则2010xx，解得2x，∴函数()fx的定义域是2，故选：D.（2）由1()xfxx，得100xx，解得1x且0x，所以函数的定义域为[1,0)(0,).故答案为：[1,0)(0,).【例2-2】（1）（2023春·黑龙江哈尔滨·高三哈九中校考开学考试）已知函数yfx的定义域是2,3，则函数21yfx的定义域是（）A．5,5B．1,22C．2,3D．1,22（2）（2023·江西）若函数(1)fx的定义域为[2,3]，则函数(24)fx的定义域为（）A．1,32B．[8,2]C．[1,4]D．[6,4]【答案】（1）B（2）A【解析】（1）函数yfx的定义域是2,3，由2213x，解得122x，所以函数21yfx的定义域是1,22.故选：B（2）函数(1)fx的定义域为[2,3]，所23x，则312x，所以()fx的定义域为[3,2]．则函数(24)fx的定义域，需满足3242x，解得132x，即函数(24)fx的定义域为1,32．故选：A.【例2-3】（1）（2023·北京·）已知函数1yax的定义域为A，且3A，则a的取值范围是_______．（2）（2022秋·海南）若函数21fxaxax的定义域为R，则a的范围是__________.（3）（2023·河南）当1,2x时，函数1()2lnfxaxx和22()log2(23)2gxxax有意义，则实数a的取值范围是___________.【答案】（1）1,3（2）04a（3）11,2e2【解析】（1）由3A，可知310a，解得13a，故答案为：1,3.（2）由已知可得，不等式210axax在R上恒成立.当0a时，不等式可化为10在R上恒成立，满足；当0a时，要使不等式210axax在R上恒成立，应有20Δ40aaa，解得04a.综上所述，a的范围是04a.故答案为：04a.（3）由题意知，当1,2x时，不等式组22ln0,22320axxxax成立.对于2ln0axx，整理得ln2xax，令lnxhxx，则21lnxhxx，当1,e2x时，0,hxhx…单调递增;e,x时，0,hxhx单调递减，所以max1()eehxh，则12ea，解得12ea；对于222320xax，整理得2312axx，由于1Gxxx在1,2上的最小值为1G2，所以2322a，解得12a.综上可得12e12a.故答案为：11,2e2.【一隅三反】1．（2023·河北）函数3lnxyx的定义域为（）A．0,3B．0,11,3C．0,3D．0,11,3【答案】B【解析】由题意，在3lnxyx中，ln0030xxx，解得：01x或13x，∴函数3lnxyx的定义域为0,11,3，故选：B.2．（2022秋·四川）已知(21)yfx定义域为1,3，则(1)yfx的定义域为（）A．2,6B．0,1C．1,2D．1,3【答案】A【解析】因为(21)yfx定义域为1,3，所以函数()fx的定义域为3,7，所以，(1)yfx的定义域为需满足317x，解得26x.所以，(1)yfx的定义域为2,6.故选：A3．（2023·陕西）已知函数21xfxx，则函数()(1)gxfx的定义域为（）A．(2,1]B．[2,1)C．(1,2]D．[1,2)【答案】D【解析】由201xx，解得12x，所以fx的定义域为1,2.令112x，则12x，所以()gx的定义域为1,2.故选：D4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数yfx的定义域为8,1，则函数212fxgxx的定义域（）A．9,22,02UB．8,22,1UC．,22,3D．9,22【答案】A【解析】因为函数yfx的定义域为8,1，对于函数212fxgxx，则有82112