专题5 空间向量与立体几何（分层练）（原卷版）

专题验收评价专题5空间向量与立体几何内容概览A·常考题不丢分题型一多面体结构及表面积体积问题题型二多面体内接外切问题题型三空间几何体角度问题题型四空间几何体动点问题C·挑战真题争满分一、单选题1．（2024上·山西运城·高三校考期末）如图所示的粮仓可以看成圆柱体与圆锥体的组合体，设圆锥部分的高为0.5米，圆柱部分的高为2米，底面圆的半径为1米，则该组合体体积为（）A．π3立方米B．2π立方米C．5π2立方米D．13π6立方米2．（2024上·山东淄博·高三统考期末）已知正四棱台1111ABCDABCD的上、下底面边长分别为2和4，若侧棱1AA与底面ABCD所成的角为60，则该正四棱台的体积为（）题型一多面体结构及表面积体积问题A．283B．2863C．842D．2823．（2024上·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）“方斗”常作为盛米的一种容器，其形状是一个上大下小的正四棱台，现有“方斗”容器如图所示，已知4AB，112AB，现往容器里加米，当米的高度是“方斗”高度的一半时，用米38kg，则该“方斗”可盛米的总质量为（）A．74kgB．114kgC．76kgD．112kg4．（2024上·山西·高三期末）如图，玛雅金字塔是世界上最大的金字塔之一，同埃及金字塔不同，它的每个侧面都是等腰梯形，并且梯形两腰延长得到的三角形是一个呈“金”字的等边三角形，它的底面是边长为56m的正方形，塔高为28m．该金字塔的体积约为（）3m．（参考数据21.4，31.7）A．120064B．40977C．34048D．316595．（2024上·河北廊坊·高三河北省文安县第一中学校联考期末）如图所示，正四棱台1111ABCDABCD中，上底面边长为3，下底面边长为6，体积为6322，点E在AD上且满足2DEAE，过点E的平面与平面1DAC平行，且与正四棱台各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为（）A．72B．82C．3342D．43426．（2024·江西赣州·南康中学校联考一模）在菱形ABCD中，2,23ABAC，将ABD△沿对角线BD折起，使点A到达A的位置，且二面角ABDC为直二面角，则三棱锥ABCD的外接球的表面积为（）A．5π3B．16π3C．20π3D．100π9二、填空题7．（2024·河南·统考模拟预测）已知轴截面为正三角形的圆锥MM的高与球O的直径相等，则圆锥MM的体积与球O的体积的比值是，圆锥MM的表面积与球O的表面积的比值是．一、单选题1．（2023上·陕西西安·高三校联考阶段练习）若平面截球O所得截面圆的面积为12π，且球心O到平面的距离为2，则球O的表面积为（）A．48πB．50πC．56πD．64π2．（2023上·江苏苏州·高三统考期中）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000km（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O，半径r为6400km的球，其上点A的纬度是指OA与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为22π1cosSr（单位：2km），则S占地球表面积的百分比约为（）．A．18％B．34％C．42％D．50％3．（2016·宁夏石嘴山·石嘴山市第三中学校考一模）球O半径为13R，球面上有三点A､B､C，123AB，题型二多面体内接外切问题12ACBC，则四面体OABC的体积是（）A．603B．503C．606D．5064．（2024·河北·高三联考）将边长为2,60BAD的菱形ABCD沿对角线BD折成直二面角，得到四面体ABCD，则四面体ABCD的外接球的表面积为（）A．201527B．20C．203D．53π5．（2024·河北·高三联考）已知球O是正三棱锥ABCD（底面是正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，3BC，2AB，点E是线段BC的中点，过点E作球O的截面，则所得截面面积的最小值是（）A．3π4B．2π3C．π2D．π4二、多选题6．（2024上·江苏苏州·高三校考期末）下列物体，能够被半径为2m的球体完全容纳的有（）A．所有棱长均为3m的四面体B．底面棱长为1m，高为3.6m的正六棱锥C．底面直径为1.6m，高为3.8cm的圆柱D．上､下底面的边长分别为1m,2m，高为3m的正四棱台一、单选题1．（2024·浙江·高三模拟）在正四面体ABCD中，E，F是棱BC，AB的中点，则异面直线DE与CF所成角的余弦值是（）A．55B．255C．16D．3562．（2024上·甘肃武威·高三统考期末）如图，在棱长都相等的正三棱柱111ABCABC-中，P为棱1CC的中点，则直线1AB与直线BP所成的角为（）题型三空间几何体角度问题A．30B．45C．60D．90二、多选题3．（2024上·黑龙江牡丹江·高三牡丹江市第二高级中学校联考期末）如图，在正方体1111ABCDABCD中，14AA，点,MN分别在棱AB和1BB上运动（不含端点），若1DMMN，则下列说法正确的是（）A．直线1CD与直线BD所成角为45B．MN平面11ADMC．MNNCD．线段DN长度的最大值为334．（2024上·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第六中学校校联考期末）如图，在正四棱柱1111ABCDABCD中，1AAAB，点,,EFG分别是1,,BCCDCC的中点，点M是线段1AD上的动点，则下列说法正确的是（）A．存在M，使得AM平面EFGB．当1时，存在M，使得CM平面EFGC．存在M，使得平面1MBC平面EFGD．存在，使得平面1MBC平面EFG三、解答题5．（2024上·黑龙江牡丹江·高三牡丹江市第二高级中学校联考期末）如图，矩形ABCD中24,ABADE为边AB的中点，将ADEV沿直线DE翻折成1ADE△，使1DAEC，若M为线段1AC的中点，(1)求证：//BM平面1ADE(2)求证：平面1ADE平面BCDE(3)求二面角1CABE夹角的正弦值6．（2024上·河北廊坊·高三河北省文安县第一中学校联考期末）如图，在三棱锥ABCD中，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且3AQQC.(1)求证：PQ平面BCD；(2)若,BCCDAD平面BCD，且BCCDDA，求直线BM与平面ABC所成角的余弦值.7．（2024·河南·统考模拟预测）如图，平行六面体1111ABCDABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，O为AC与BD的交点，11112,,45AACCBCCDCCO．(1)证明：1CO平面ABCD；(2)求二面角1BAAD的正弦值．一、解答题1．（2023·河南·信阳高中校联考模拟预测）如图，在几何体ABCDE中，,CACBCD平面,,2ABCBECDBECD∥.(1)求证：平面ADE平面ABE；(2)若,3,4CAABBEAB，在棱AC上是否存在一点F，使得EF与平面ACD所成角的正弦值为277？若存在，请求出AFAC的值；若不存在，请说明理由.题型四空间几何体动点问题2．（2023·四川雅安·统考一模）如图，在三棱柱111ABCABC-中，直线1CB平面ABC，平面11AACC平面11BBCC．(1)求证：1ACBB；(2)若12ACBCBC，在棱11AB上是否存在一点P，使二面角1PBCC的余弦值为31010？若存在，求111BPAB的值；若不存在，请说明理由．3．（2024·四川成都·四川省成都列五中学校考一模）已知，图中直棱柱1111ABCDABCD的底面是菱形，其中124AAACBD.又点,,,EFPQ分别在棱1111,,,AABBCCDD上运动，且满足：BFDQ，1CPBFDQAE.(1)求证：,,,EFPQ四点共面，并证明//EF平面PQB；(2)是否存在点P使得二面角BPQE的余弦值为155？如果存在，求出CP的长；如果不存在，请说明理由.一、单选题1．（2023·全国乙卷）已知圆锥PO的底面半径为3，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，120AOB，若PAB的面积等于934，则该圆锥的体积为（）A．B．6C．3D．362．（2023·全国甲卷）已知四棱锥PABCD的底面是边长为4的正方形，3,45PCPDPCA，则PBC的面积为（）A．22B．32C．42D．623．（2022·全国乙卷）在正方体1111ABCDABCD中，E，F分别为,ABBC的中点，则（）A．平面1BEF平面1BDDB．平面1BEF平面1ABDC．平面1//BEF平面1AACD．平面1//BEF平面11ACD4．（2022·全国乙卷）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）A．13B．12C．33D．225．（2022·全国Ⅱ卷）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为33和43，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A．100πB．128πC．144πD．192π6．（2021·全国·乙卷）在正方体1111ABCDABCD中，P为11BD的中点，则直线PB与1AD所成的角为（）A．π2B．π3C．π4D．π67．（2021·全国甲卷）已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且,1ACBCACBC，则三棱锥OABC的体积为（）A．212B．312C．24D．348．（2021·全国Ⅰ卷）已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A．2B．22C．4D．429．（2021·全国·Ⅱ卷）正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（）A．20123B．282C．563D．2823二、多选题10．（2023·全国Ⅱ）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，120APB，2PA，点C在底面圆周上，且二面角PACO为45°，则（）．A．该圆锥的体积为πB．该圆锥的侧面积为43πC．22ACD．PAC△的面积为311．（2022·全国·Ⅱ卷）如图，四边形ABCD为正方形，ED平面ABCD，,2FBEDABEDFB∥，记三棱锥EACD，FABC，FACE的体积分别为123,,VVV，则（）A．322VVB．31VVC．312VVVD．3123VV12．（2021·全国·Ⅰ卷）在正三棱柱111ABCABC-中，11ABAA，点P满足1BPBCBB，其中0,1，0,1，则（）A．当1时，1ABP△的周长为定值B．当1时，三棱锥1PABC的体积为定值C．当12时，有且仅有一个点P，使得1APBPD．当12时，有且仅有一个点P，使得1AB平面1ABP13．（2021·全国·Ⅱ卷）如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足MNOP的是（）A．B．C．D．三、解答题14．（2023·全国·乙卷）如图，在三棱锥PABC中，ABBC，2AB，22BC，6PBPC，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，5ADDO，点F在AC上，BFAO.(1)证明：//EF平面ADO；(2)证明：平面ADO平面BEF；(3)求二面角DAOC的正弦值.15．（2022·全国乙卷）如图，四面体ABCD中，,,ADCDADCDADBBDC，E为AC的中点．(1)证明：平面BED平面ACD；(2)设2,60ABBDACB，点F在BD上，当AFC△的面积最小时，求CF与平面ABD所成的角的正弦值．16．（2022·全国·甲卷）在四棱锥PABCD中，PD底面,,1,2,3ABCDCDAB