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专题6.8平面向量、复数和解三角形真题训练第一部分:平面向量1.(2022年高考全国乙卷数学(文)真题)已知向量(2,1)(2,4)ab,,则abrr()A.2B.3C.4D.52.(2021年全国高考乙卷数学(理)试题)已知向量1,3,3,4ab,若()abb,则__________.3.(2022年高考全国甲卷数学(文)真题)已知向量(,3),(1,1)ambm.若ab,则m______________.4.(2022年新高考全国II卷数学真题)已知向量(3,4),(1,0),tabcab,若,,acbc,则t()A.6B.5C.5D.65.(2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题)已知向量1,1,1,1ab,若abab,则()A.1B.1C.1D.16.(2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题)已知向量a,b满足3ab,2abab,则b______.7.(2023年高考全国乙卷数学(文)真题)正方形ABCD的边长是2,E是AB的中点,则ECED()A.5B.3C.25D.58.(2021年全国新高考I卷数学试题)(多选)已知O为坐标原点,点1cos,sinP,2cos,sinP,3cos,sinP,()1,0A,则()A.12OPOPB.12APAPC.312OAOPOPOPD.123OAOPOPOP9.(2021年全国高考乙卷数学(文)试题)已知向量2,5,,4ab,若//abrr,则_________.10.(2021年全国高考甲卷数学(理)试题)已知向量3,1,1,0,abcakb.若ac,则k________.11.(2021年全国高考甲卷数学(文)试题)若向量,ab满足3,5,1aabab,则b_________.12.(2022年新高考全国I卷数学真题)在ABC中,点D在边AB上,2BDDA.记CAmCDn,,则CB()A.32mnB.23mnC.32mnD.23mn13.(2022年高考全国乙卷数学(理)真题)已知向量,ab满足||1,||3,|2|3abab,则ab()A.2B.1C.1D.214.(2022年高考全国甲卷数学(理)真题)设向量a,b的夹角的余弦值为13,且1a,3br,则2abb_________.15.(2023年高考全国甲卷数学(文)真题)已知向量3,1,2,2ab,则cos,abab()A.117B.1717C.55D.25516.(2023年高考全国甲卷数学(理)真题)向量1,2abc,且0abc,则cos,acbc()A.15B.25C.25D.4517.(2023年新高考天津数学高考真题)在ABC中,60A,1BC,点D为AB的中点,点E为CD的中点,若设,ABaACb,则AE可用,ab表示为_________;若13BFBC,则AEAF的最大值为_________.18.(2023年高考全国乙卷数学(理)真题)已知O的半径为1,直线PA与O相切于点A,直线PB与O交于B,C两点,D为BC的中点,若2PO,则PAPD的最大值为()A.122+B.1222C.12D.2219.(2022年新高考北京数学高考真题)在ABC中,3,4,90ACBCC.P为ABC所在平面内的动点,且1PC,则PAPB的取值范围是()A.[5,3]B.[3,5]C.[6,4]D.[4,6]第二部分:复数20.(2021年全国新高考I卷数学试题)已知2iz,则izz()A.62iB.42iC.62iD.42i21.(2021年全国高考甲卷数学(文)试题)已知21i32iz,则z()A.31i2B.31i2C.3i2D.3i222.(2022年高考全国乙卷数学(理)真题)已知12zi,且0zazb,其中a,b为实数,则()A.1,2abB.1,2abC.1,2abD.1,2ab23.(2022年高考全国乙卷数学(文)真题)设(12i)2iab,其中,ab为实数,则()A.1,1abB.1,1abC.1,1abD.1,1ab24.(2022年新高考全国II卷数学真题)(22i)(12i)()A.24iB.24iC.62iD.62i25.(2023年高考全国甲卷数学(文)真题)351i2i2i()A.1B.1C.1iD.1i26.(2021年全国高考乙卷数学(文)试题)设i43iz,则z()A.–34iB.34iC.34iD.34i27.(2021年全国高考乙卷数学(理)试题)设2346izzzz,则z()A.12iB.12iC.1iD.1i28.(2021年全国新高考II卷数学试题)复数2i13i在复平面内对应的点所在的象限为()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限29.(2022年新高考全国I卷数学真题)若i(1)1z,则zz()A.2B.1C.1D.230.(2022年高考全国甲卷数学(文)真题)若1iz.则|i3|zz()A.45B.42C.25D.2231.(2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题)已知1i22iz,则zz()A.iB.iC.0D.132.(2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题)在复平面内,13i3i对应的点位于().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限33.(2023年高考全国甲卷数学(理)真题)若复数i1i2,Raaa,则a()A.-1B.0·C.1D.234.(2023年高考全国乙卷数学(理)真题)设252i1iiz,则z()A.12iB.12iC.2iD.2i35.(2023年高考全国乙卷数学(文)真题)232i2i()A.1B.2C.5D.5第三部分:解三角形36.(2021年全国高考乙卷数学(理)试题)记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为3,60B,223acac,则b________.37.(2021年全国高考甲卷数学(理)试题)2020年12月8日,中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86(单位:m),三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图,现有A,B,C三点,且A,B,C在同一水平面上的投影,,ABC满足45ACB,60ABC.由C点测得B点的仰角为15,BB与CC的差为100;由B点测得A点的仰角为45,则A,C两点到水平面ABC的高度差AACC约为(31.732)()A.346B.373C.446D.47338.(2021年全国高考甲卷数学(文)试题)在ABC中,已知120B,19AC,2AB,则BC()A.1B.2C.5D.339.(2022年高考全国甲卷数学(理)真题)已知ABC中,点D在边BC上,120,2,2ADBADCDBD.当ACAB取得最小值时,BD________.40.(2023年高考全国乙卷数学(文)真题)在ABC中,内角,,ABC的对边分别是,,abc,若coscosaBbAc,且5C,则B()A.10B.5C.310D.2541.(2023年高考全国甲卷数学(理)真题)在ABC中,2AB,60,6BACBC,D为BC上一点,AD为BAC的平分线,则AD_________.42.(2022年高考全国乙卷数学(文)真题)记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c﹐已知sinsinsinsinCABBCA.(1)若2AB,求C;(2)证明:2222abc43.(2021年全国新高考I卷数学试题)记ABC是内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知2bac,点D在边AC上,sinsinBDABCaC.(1)证明:BDb;(2)若2ADDC,求cosABC.44.(2021年全国新高考II卷数学试题)在ABC中,角A、B、C所对的边长分别为a、b、c,1ba,2ca..(1)若2sin3sinCA,求ABC的面积;(2)是否存在正整数a,使得ABC为钝角三角形?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.45.(2022年新高考全国I卷数学真题)记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cossin21sin1cos2ABAB.(1)若23C,求B;(2)求222abc的最小值.46.(2022年高考全国乙卷数学(理)真题)记ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc,已知sinsin()sinsin()CABBCA.(1)证明:2222abc;(2)若255,cos31aA,求ABC的周长.47.(2022年新高考全国II卷数学真题)记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,分别以a,b,c为边长的三个正三角形的面积依次为123,,SSS,已知12331,sin23SSSB.(1)求ABC的面积;(2)若2sinsin3AC,求b.48.(2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题)已知在ABC中,3,2sinsinABCACB.(1)求sinA;(2)设5AB,求AB边上的高.49.(2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题)记ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc,已知ABC的面积为3,D为BC中点,且1AD.(1)若π3ADC,求tanB;(2)若228bc,求,bc.50.(2023年高考全国甲卷数学(文)真题)记ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc,已知2222cosbcaA.(1)求bc;(2)若coscos1coscosaBbAbaBbAc,求ABC面积.【答案】(1)1(2)34【分析】(1)根据余弦定理即可解出;(2)由(1)可知,只需求出sinA即可得到三角形面积,对等式恒等变换,即可解出.【详解】(1)因为2222cosabcbcA,所以2222cos22coscosbcabcAbcAA,解得:1bc.(2)由正弦定理可得coscossincossincossincoscossincossincossinaBbAbABBABaBbAcABBACsinsinsinsin1sinsinsinABABBBABABAB,变形可得:sinsinsinABABB,即2cossinsinABB,而0sin1B≤,所以1cos2A,又0πA,所以3sin2A,故ABC的面积为1133sin12224ABCSbcA△.51.在ABC中,已知120BAC,2AB,1AC.(1)求sinABC;(2)若D为BC上一点,且90BAD,求ADC△的面积.(2023年高考全国乙卷数学(理)真题)
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