专题6.8 平面向量、复数和解三角形（2021-2023年）真题训练（原卷版）

专题6.8平面向量、复数和解三角形真题训练第一部分：平面向量1．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）已知向量(2,1)(2,4)ab，，则abrr（）A．2B．3C．4D．52．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）已知向量1,3,3,4ab，若()abb，则__________．3．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）已知向量(,3),(1,1)ambm．若ab，则m______________．4．（2022年新高考全国II卷数学真题）已知向量(3,4),(1,0),tabcab，若,,acbc，则t（）A．6B．5C．5D．65．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知向量1,1,1,1ab，若abab，则（）A．1B．1C．1D．16．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知向量a，b满足3ab，2abab，则b______．7．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则ECED（）A．5B．3C．25D．58．（2021年全国新高考I卷数学试题）（多选）已知O为坐标原点，点1cos,sinP，2cos,sinP，3cos,sinP，()1,0A，则（）A．12OPOPB．12APAPC．312OAOPOPOPD．123OAOPOPOP9．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）已知向量2,5,,4ab，若//abrr，则_________．10．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知向量3,1,1,0,abcakb．若ac，则k________．11．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）若向量,ab满足3,5,1aabab，则b_________.12．（2022年新高考全国I卷数学真题）在ABC中，点D在边AB上，2BDDA．记CAmCDn，，则CB（）A．32mnB．23mnC．32mnD．23mn13．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知向量,ab满足||1,||3,|2|3abab，则ab（）A．2B．1C．1D．214．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）设向量a，b的夹角的余弦值为13，且1a，3br，则2abb_________．15．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）已知向量3,1,2,2ab，则cos,abab（）A．117B．1717C．55D．25516．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）向量1,2abc，且0abc，则cos,acbc（）A．15B．25C．25D．4517．（2023年新高考天津数学高考真题）在ABC中，60A，1BC，点D为AB的中点，点E为CD的中点，若设,ABaACb，则AE可用,ab表示为_________；若13BFBC，则AEAF的最大值为_________．18．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知O的半径为1，直线PA与O相切于点A，直线PB与O交于B，C两点，D为BC的中点，若2PO，则PAPD的最大值为（）A．122+B．1222C．12D．2219．（2022年新高考北京数学高考真题）在ABC中，3,4,90ACBCC．P为ABC所在平面内的动点，且1PC，则PAPB的取值范围是（）A．[5,3]B．[3,5]C．[6,4]D．[4,6]第二部分：复数20．（2021年全国新高考I卷数学试题）已知2iz，则izz（）A．62iB．42iC．62iD．42i21．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）已知21i32iz，则z（）A．31i2B．31i2C．3i2D．3i222．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知12zi，且0zazb，其中a，b为实数，则（）A．1,2abB．1,2abC．1,2abD．1,2ab23．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）设(12i)2iab，其中,ab为实数，则（）A．1,1abB．1,1abC．1,1abD．1,1ab24．（2022年新高考全国II卷数学真题）(22i)(12i)（）A．24iB．24iC．62iD．62i25．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）351i2i2i（）A．1B．1C．1iD．1i26．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设i43iz，则z（）A．–34iB．34iC．34iD．34i27．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）设2346izzzz，则z（）A．12iB．12iC．1iD．1i28．（2021年全国新高考II卷数学试题）复数2i13i在复平面内对应的点所在的象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限29．（2022年新高考全国I卷数学真题）若i(1)1z，则zz（）A．2B．1C．1D．230．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）若1iz．则|i3|zz（）A．45B．42C．25D．2231．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知1i22iz，则zz（）A．iB．iC．0D．132．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）在复平面内，13i3i对应的点位于（）．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限33．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）若复数i1i2,Raaa，则a（）A．-1B．0·C．1D．234．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设252i1iiz，则z（）A．12iB．12iC．2iD．2i35．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）232i2i（）A．1B．2C．5D．5第三部分：解三角形36．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为3，60B，223acac，则b________．37．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影,,ABC满足45ACB，60ABC．由C点测得B点的仰角为15，BB与CC的差为100；由B点测得A点的仰角为45，则A，C两点到水平面ABC的高度差AACC约为（31.732）（）A．346B．373C．446D．47338．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）在ABC中，已知120B，19AC，2AB，则BC（）A．1B．2C．5D．339．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）已知ABC中，点D在边BC上，120,2,2ADBADCDBD．当ACAB取得最小值时，BD________．40．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）在ABC中，内角,,ABC的对边分别是,,abc，若coscosaBbAc，且5C，则B（）A．10B．5C．310D．2541．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）在ABC中，2AB，60,6BACBC，D为BC上一点，AD为BAC的平分线，则AD_________．42．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知sinsinsinsinCABBCA．(1)若2AB，求C；(2)证明：2222abc43．（2021年全国新高考I卷数学试题）记ABC是内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知2bac，点D在边AC上，sinsinBDABCaC.（1）证明：BDb；（2）若2ADDC，求cosABC.44．（2021年全国新高考II卷数学试题）在ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，1ba，2ca.．（1）若2sin3sinCA，求ABC的面积；（2）是否存在正整数a，使得ABC为钝角三角形?若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．45．（2022年新高考全国I卷数学真题）记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cossin21sin1cos2ABAB．(1)若23C，求B；(2)求222abc的最小值．46．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）记ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，已知sinsin()sinsin()CABBCA．(1)证明：2222abc；(2)若255,cos31aA，求ABC的周长．47．（2022年新高考全国II卷数学真题）记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为123,,SSS，已知12331,sin23SSSB．(1)求ABC的面积；(2)若2sinsin3AC，求b．48．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知在ABC中，3,2sinsinABCACB．(1)求sinA；(2)设5AB，求AB边上的高．49．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）记ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，已知ABC的面积为3，D为BC中点，且1AD．(1)若π3ADC，求tanB；(2)若228bc，求,bc．50．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）记ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，已知2222cosbcaA．(1)求bc；(2)若coscos1coscosaBbAbaBbAc，求ABC面积．【答案】(1)1(2)34【分析】（1）根据余弦定理即可解出；（2）由（1）可知，只需求出sinA即可得到三角形面积，对等式恒等变换，即可解出．【详解】（1）因为2222cosabcbcA，所以2222cos22coscosbcabcAbcAA，解得：1bc．（2）由正弦定理可得coscossincossincossincoscossincossincossinaBbAbABBABaBbAcABBACsinsinsinsin1sinsinsinABABBBABABAB，变形可得：sinsinsinABABB，即2cossinsinABB，而0sin1B≤，所以1cos2A，又0πA，所以3sin2A，故ABC的面积为1133sin12224ABCSbcA△．51．在ABC中，已知120BAC，2AB，1AC.(1)求sinABC；(2)若D为BC上一点，且90BAD，求ADC△的面积.（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）