素养拓展33 曲线的轨迹方程问题 （原卷版）

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）素养拓展33曲线的轨迹方程问题（精讲+精练）一、曲线方程的定义一般地，如果曲线C与方程(,)0Fxy之间有以下两个关系：①曲线C上的点的坐标都是方程(,)0Fxy的解；②以方程(,)0Fxy的解为坐标的点都是曲线C上的点．此时，把方程(,)0Fxy叫做曲线C的方程，曲线C叫做方程(,)0Fxy的曲线．二、求曲线方程的一般步骤（直接法）（1）建立适当的直角坐标系（如果已给出，本步骤省略）；（2）设曲线上任意一点的坐标为),(yx；（3）根据曲线上点所适合的条件写出等式；（4）用坐标表示这个等式，并化简；（5）确定化简后的式子中点的范围．上述五个步骤可简记为：求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围．三、求轨迹方程的方法1.定义法如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。2.代入法（相关点法）如果动点P的运动是由另外某一点P的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出(,)Pxy，用(,)xy表示出相关点P的坐标，然后把P的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P的轨迹方程。3.交轨法在求动点的轨迹方程时，存在一种求解两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常可以先解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数得出所求轨迹的方程，该方法经常与参数法并用，和参数法一样，通常选变角、变斜率等为参数．yx、一、知识点梳理4.参数法动点(,)Mxy的运动主要是由于某个参数的变化引起的，可以选参、设参，然后用这个参数表示动点的坐标，即()()xfyg，再消参.5.点差法圆锥曲线中与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点1122(,),(,)AxyBxy的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得12xx，12yy，12xx，12yy等关系式，由于弦AB的中点(,)Pxy的坐标满足122xxx，122yyy且直线AB的斜率为2121yyxx，由此可求得弦AB中点的轨迹方程.【典例1】已知点P是椭圆22164xy上任意一点，过点P作x轴的垂线，垂足为M，则线段PM的中点,Nxy的轨迹方程为______．【答案】2216xy【解析】因为PMx轴，垂足为M，且PM的中点为,Nxy，所以,2Pxy，又因为P是椭圆22164xy上任意一点，所以22(2)164xy，即2216xy.故答案为：2216xy.【典例2】已知圆F：2221xy，动圆P与圆F外切，且与定直线3x相切，设动点P的轨迹为E．求E的方程；【解析】设,Pxy，圆P的半径为R，由题可知，点P在直线3x右侧，因为圆P与定直线3x相切，所以3Rx．又圆P与圆F外切，所以22||121RPFxy，所以22321xxy，化简得28yx，即E的方程为28yx．【典例3】（单选题）设,AB分别是直线2yx和2yx上的动点，且满足AB4，则AB的中点M的轨二、题型精讲精练迹方程为（）A．22116yxB．22116xyC．22116yxD．22116xy【答案】A【解析】设11,2Axx，22,2Bxx，,Mxy，因为M为AB的中点，则1212,2xxMxx，故122xxx，12yxx，又因为22212122216ABxxxx，所以22416yx，即22116yx，所以点M的轨迹方程为22116yx．故选:A.【典例4】已知1A、2A为椭圆C：2213yx的左右顶点，直线0xx与C交于AB、两点，直线1AA和直线2AB交于点P.求点P的轨迹方程.【解析】由题意得11,0A，21,0A，设00,Axy，000,0Bxyy，,Pxy，则11PAAAkk，22PABAkk，即0011yyxx，0011yyxx，得22022011yyxx，又∵点()00,xy在C上，即220013yx，得2231yx，∴22103yxy；【典例5】已知椭圆22143xy的弦AB所在直线过点1,1E，求弦AB中点F的轨迹方程.【解析】设1122,,AxyBxy，，弦AB的中点,Fxy，则121222xxxyyy，将AB，代入椭圆方程得22112222143143xyxy，两式相减得12121212043xxxxyyyy，所以12122023xxxyyy，当12xx时，1212121222002323yyyyyxxyxxxx，因为EFABkk，所以121211yyyxxx，则210231xyyx，整理得22343401xyxyx；当12xx时，则直线AB方程为1x，代入椭圆方程解得3311,22,,AB所以10F，满足上述方程，故点F的轨迹方程2234340xyxy.【题型训练-刷模拟】一、单选题1．平面直角坐标系中点,Mxy满足2222(1)(1)2xyxy，则点M的轨迹为（）A．线段B．圆C．椭圆D．不存在2．一动圆P过定点4,0M，且与已知圆N：22416xy相切，则动圆圆心P的轨迹方程是（）A．221412xyB．221412yxC．221412xyD．221412yx3．在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若·ACBC=2，则点C的轨迹为（）A．椭圆B．射线C．圆D．直线4．已知面积为16的正方形ABCD的顶点A、B分别在x轴和y轴上滑动，O为坐标原点，3142OPOAOB，则动点P的轨迹方程是（）A．22132xyB．22194xyC．22148xyD．22184xy5．已知圆22:3Cxy，直线l过点2,0A.线段AB的端点B在圆C上运动，则线段AB的中点M的轨迹方程为（）A．22314xyB．22314xyC．22314xyD．22413xy6．已知12,FF分别为椭圆22:19xEy的左、右焦点，P是椭圆E上一动点，G点是三角形12PFF的重心，则点G的轨迹方程为（）A．2291xyB．2291(0)xyyC．221819xyD．221(0)819xyy7．将2216xy上各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的12，得到曲线C，若直线l与曲线C交于,AB两点，且AB中点坐标为2,1M，那么直线l的方程为（）A．240xyB．240xyC．240xyD．220xy8．已知P是圆221:316Fxy上的一动点，点23,0F，线段2PF的垂直平分线交直线1PF于点Q，则Q点的轨迹方程为（）A．22154xyB．22149xyC．22145xyD．221045xyx9．已知A，B为平面内两定点，过该平面内动点M作直线AB的垂线，垂足为N.若212MNANNB，则动点M的轨迹是（）A．圆B．椭圆C．抛物线D．双曲线10．已知12,AA是椭圆22:143xyC的长轴上的两个顶点，点P是椭圆上异于长轴顶点的任意一点，点Q与点P关于x轴对称，则直线1PA与直线2QA的交点M所形成的轨迹为（）A．双曲线B．抛物线C．椭圆D．两条互相垂直的直线11．已知点P是圆22:4Oxy上的动点，作PHy轴于点H，则线段PH的中点M的轨迹方程为（）A．2214xyB．22116xyC．22116yxD．2214yx12．已知双曲线22212yxa的两个焦点分别为12FF、，离心率等于3，设双曲线的两条渐近线分别为直线12ll、；若点AB、分别在12ll、上，且满足123||2||ABFF，则线段AB的中点M的轨迹C的方程为A．2214xyB．2213xyC．2216xyD．2212xy13．已知(0,7)A，(0,7)B，(12,2)C，以C为焦点的椭圆过A、B两点，则椭圆的另一个焦点F的轨迹方程为（）A．221148xyyB．221148xyyC．2214348yxyD．2214348yxy二、填空题14．如果点M（x，y）在运动过程中，总满足关系式22223343xyxy，那么点M的轨迹是．15．平面上一动点C的坐标为2cos,sin，则点C的轨迹E的方程为．16．曲线C上任意一点P到点F（2，0）的距离与它到直线x＝4的距离之比等于22，则C的方程为．17．已知圆心在x轴上移动的圆经过点2,0A，且与x轴，y轴分别相交于,0,0,BxCy两个动点，则点,Mxy的轨迹方程为.18．已知点,AB分别在x轴、y轴上运动，3AB，点P在线段AB上，且2BPPA.则点P的轨迹E方程是；19．已知点A2,0，B2,0，P是平面内的一个动点，直线PA与PB的斜率之积是12，则动点P的轨迹C的方程为.20．古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数(0,1)kkk的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系xOy中，4,0,2,0AB，点M满足2MAMB，则点M的轨迹方程为.21．已知圆M与圆C1：22(5)25xy和圆C2：2259xy一个内切一个外切，则点M的轨迹方程为.22．已知点P是曲线21yx上任意一点，2,0A，连接PA并延长至Q，使得2AQPA，求动点Q的轨迹方程．23．在椭圆2214xy上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，垂足为D，点M在DP的延长线上，满足2DMDP，当点P在椭圆上运动时，点M的轨迹方程为.24．已知点P为椭圆2212516xy上的任意一点，O为原点，M满足12OMOP，则点M的轨迹方程为．25．设平面直角坐标系中，O为原点，N为动点，6ON，5ONOM，过点M作1MMy轴于点1M，过点N作1NNx轴于点1N，M与1M不重合，N与1N不重合，设11OTMMNN，则点T的轨迹方程是.26．自4,0A引圆224xy的割线ABC，则弦BC中点P的轨迹方程.27．已知2cos,4sinA，2sin,4cosB，当R时，线段AB的中点轨迹方程为．28．已知MN是椭圆222210xyabab中垂直于长轴的动弦，,AB是椭圆长轴的两个端点，则直线AM和NB的交点P的轨迹方程为．29．已知抛物线2:2(0)Cxpyp的焦点F到准线的距离为2，直线:4lykx与抛物线C交于,PQ两点，过点,PQ作抛物线C的切线12,ll，若12,ll交于点M，则点M的轨迹方程为.30．直线l在x轴上的截距为0aa且交抛物线220ypxp于A、B两点，点O为抛物线的顶点，过点A、B分别作抛物线对称轴的平行线与直线xa交于C、D两点．分别过点A、B作抛物线的切线，则两条切线的交点的轨迹方程为．三、解答题31．已知直线l平行于y轴，且l与x轴的交点为(4,0)，点A在直线l上，动点P的纵坐标与A的纵坐标相同，且OAOP，求P点的轨迹方程，并说明轨迹方程的形状．32．在平面直角坐标系中，点,AB的坐标分别为4,0，4,0，点,Mxy为坐标系内一点，若直线AM与直线BM的斜率的乘积为916．(1)求点M的轨