重难点突破02 利用传统方法求线线角、线面角、二面角与距离（四大题型）（学生版）

1重难点突破02利用传统方法求线线角、线面角、二面角与距离目录知识点1：线与线的夹角（1）位置关系的分类：点一个平面内，没有公共异面直线：不同在任何相交直线平行直线共面直线（2）异面直线所成的角①定义：设ab，是两条异面直线，经过空间任一点O作直线aabb∥，∥，把a与b所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）．②范围：(0]2，③求法：平移法：将异面直线ab，平移到同一平面内，放在同一三角形内解三角形．知识点2：线与面的夹角①定义：平面上的一条斜线与它在平面的射影所成的锐角即为斜线与平面的线面角．2②范围：[0]2，③求法：常规法：过平面外一点B做BB平面，交平面于点'B；连接AB，则BAB即为直线AB与平面的夹角．接下来在△RtABB中解三角形．即sin斜线长BBhBABAB（其中h即点B到面的距离，可以采用等体积法求h，斜线长即为线段AB的长度）；知识点3：二面角（1）二面角定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，这两个平面称为二面角的面．（二面角l或者是二面角ACDB）（2）二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角；范围[0]，．（3）二面角的求法法一：定义法在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角，如图在二面角l的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在半平面和内作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角（当然两条垂线的垂足点可以不相同，那求二面角就相当于求两条异面直线的夹角即可）．法二：三垂线法在面或面内找一合适的点A，作AO于O，过A作ABc于B，则BO为斜线AB在面内的射影，ABO为二面角c的平面角．如图1，具体步骤：①找点做面的垂线；即过点A，作AO于O；②过点（与①中是同一个点）做交线的垂线；即过A作ABc于B，连接BO；③计算：ABO为二面角c的平面角，在RtABO△中解三角形．3图1图2图3法三：射影面积法凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（'''cos=ABCABCSSSS射斜，如图2）求出二面角的大小；法四：补棱法当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题．当二平面没有明确的交线时，也可直接用法三的摄影面积法解题．法五：垂面法由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．例如：过二面角内一点A作AB于B，作AC于C，面ABC交棱a于点O，则BOC就是二面角的平面角．如图3．此法实际应用中的比较少，此处就不一一举例分析了．知识点4：空间中的距离求点到面的距离转化为三棱锥等体积法求解．题型一：异面直线所成角例1．（2023·四川绵阳·绵阳中学校考二模）如图，圆柱的轴截面为矩形ABCD，点M，N分别在上、下底面圆上，2NBAN，2CMDM，2AB，3BC，则异面直线AM与CN所成角的余弦值为（）baAOBbABCB'C'A'4A．33010B．33020C．35D．34例2．（2023·全国·高三校联考开学考试）如图，在直三棱柱111ABCABC-中，1ABBCACAA，则异面直线1AB与1BC所成角的余弦值等于（）A．32B．12C．13D．14例3．（2023·江西·高三统考阶段练习）如图，二面角l的大小为5π,,6ab，且a与交线l所成的角为π3，则直线,ab所成的角的正切值的最小值为（）A．3B．3913C．33D．31313变式1．（2023·河南·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）在正三棱柱111ABCABC-中，1ABAA，D为11AB的中点，E为11AC的中点，则异面直线AD与BE所成角的余弦值为（）A．66B．3510C．3514D．357变式2．（2023·全国·高三对口高考）两条异面直线a、b所成角为π,3一条直线l与a、b成角都等于，那么的取值范围是（）A．ππ,32B．ππ,62C．π5π,66D．π2π,33变式3．（2023·四川·校联考模拟预测）在正四棱台1111ABCDABCD中，1124ABAB，其体积为282,3E为11BD的中点，则异面直线1AD与BE所成角的余弦值为（）5A．310B．35C．3310D．3010变式4．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考三模）正三棱柱111ABCABC-的棱长均相等，E是11BC的中点，则异面直线1AB与BE所成角的余弦值为（）A．24B．23C．1020D．31020题型二：线面角例4．（2023·贵州贵阳·校联考三模）如图，在直三棱柱111ABCABC-中，1ABACAA，60BAC，则1AB与平面11AACC所成角的正弦值等于（）A．22B．32C．64D．104例5．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥PABCD中，//ABCD，90ABC，ADP△是等边三角形，2ABAP，3BP，ADBP.(1)求BC的长度；(2)求直线BC与平面ADP所成的角的正弦值.6例6．（2023·广东阳江·高三统考开学考试）在正三棱台111ABCABC-中，6AB，1113ABAA，D为11AC中点，E在1BB上，12EBBE.(1)请作出11AB与平面CDE的交点M，并写出1AM与1MB的比值（在图中保留作图痕迹，不必写出画法和理由）；(2)求直线BM与平面ABC所成角的正弦值.变式5．（2023·海南海口·海南华侨中学校考二模）如图，在多面体ABCDEFG中，平面ABC平面DEFG，底面ABC是等腰直角三角形，2ABBC，侧面ACGD是正方形，DA平面ABC，且FBGC∥，GEDE.(1)证明：AEGE．(2)若O是DG的中点，OE平面BCGF，求直线OE与平面BDG所成角的正弦值．变式6．（2023·全国·高三专题练习）在三棱锥OABC中，2,120ABBCOBABC，平面BCO平面ABC，且OBAB.7(1)证明：OBAC；(2)若F是直线OC上的一个动点，求直线AF与平面ABC所成的角的正切值最大值.变式7．（2023·湖南邵阳·高三统考学业考试）如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AC与BD交于点O，PA面ABCD，且2PA.(1)求证BD平面PAC.；(2)求PD与平面PAC所成角的大小．变式8．（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱111ABCABC-中，1AC底面ABC，190,2ACBAA，1A到平面11BCCB的距离为1．(1)证明：1ACAC；(2)已知1AA与1BB的距离为2，求1AB与平面11BCCB所成角的正弦值．8变式9．（2023·全国·模拟预测）如图，在多面体ABCDE中，平面ACD平面ABC，BE平面ABC，ACD是边长为2的正三角形，233ABBC，3BE．(1)点M为线段CD上一点，求证：DEAM；(2)求AE与平面BCE所成角的正弦值．变式10．（2023·海南海口·统考模拟预测）如图，四棱锥PABCD中，//ABCD，ABAD，平面PAD平面PCD.(1)证明：平面PAD平面ABCD；(2)若22ADAB，2PB，5PD，BC与平面PCD所成的角为，求sin的最大值.变式11．（2023·全国·模拟预测）如图，在四棱锥PABCD中，底面为直角梯形，//ADBC，90BAD，PA底面ABCD，且2PAADABBC，M，N分别为PC，PB的中点．9(1)证明：PBDM．(2)求BD与平面ADMN所成角的正弦值．变式12．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在四棱锥EABCD中，底面ABCD为直角梯形，//ABCD，12ABCD，CDCE，45ADCEDC，2AD，3BE．(1)求证：平面ABE平面ABCD；(2)设M为AE的中点，求直线DM与平面ABCD所成角的正弦值．题型三：二面角例7．（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱ABCABC中，已知CB平面,2ABBAAB，且,ABBBACAB.10(1)求AA的长；(2)若D为线段AC的中点，求二面角ABCD的余弦值.例8．（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱111ABCABC-中，侧面11BBCC为菱形，1160,2,2CBBABBCACAB.(1)证明：平面1ACB平面11BBCC；(2)求二面角111AACB的余弦值.例9．（2023·广东深圳·高三校联考开学考试）在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，ABPD.(1)证明：平面PAD平面ABCD；(2)若PAPD，60PDA，求平面PAD与平面PBC夹角的余弦值.变式13．（2023·四川成都·高三川大附中校考阶段练习）如图，AB是圆O的直径，点P在圆O所在平面上的射影恰是圆O上的点C，且2ACBC，点D是PA的中点，PO与BD交于点E，点F是PC上的一个动点.11(1)求证：BCPA；(2)求二面角BPCO平面角的余弦值.变式14．（2023·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知在四棱锥PABCD中，4AB，3BC，5AD，90DABABCCBP，PACD，E为CD的中点.(1)证明：平面PCD平面PAE；(2)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求二面角PCDA的正弦值.变式15．（2023·广东广州·高三广州市第六十五中学校考阶段练习）如图，在五面体ABCDE中，AD平面ABC，ADBE，2ADBE，ABBC.12(1)问：在线段CD上是否存在点P，使得PE平面ACD?若存在，请指出点P的位置，并证明；若不存在，请说明理由.(2)若3AB，2AC，2AD，求平面ECD与平面ABC夹角的余弦值.变式16．（2023·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测）如图，在梯形ABCD中，ABCD，1ADDCCB，60ABC，四边形ACFE为矩形，平面ACFE平面ABCD，1CF.(1)求证：BC平面ACFE；(2)求二面角ABFC的平面角的余弦值；(3)若点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB所成二面角的平面角为(90)，试求cos的范围.变式17．（2023·吉林·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于,AB的点，直线PC平面,,ABCEF分别是,PAPC的中点．(1)记平面BEF与平面ABC的交线为l，证明：l平面PCB；(2)设（1）中的直线l与圆O的另一个交点为D，且点Q满足12DQCP．记直线PQ与平面ABC所成的角为，异面直线PQ与EF所成的角为，二面角ElC的大小为，求证：sinsinsin．13变式18．（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥PABC中，ABBC，2AB，22BC，6PBPC，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，5ADDO，点F在AC上，BFAO.(1)证明：//EF平面ADO；(2)证明：平面ADO平面BEF；(3)求二面角DAOC的正弦值.变式19．（2023·广东广州·统考三模）如图，在几何体ABCDEF中，矩形BDEF所在平面与平面ABCD互相垂直，且1ABBCBF，3ADCD，2E