考点巩固卷18空间向量与立体几何(九大考点)（解析版）

考点巩固卷18空间向量与立体几何(九大考点)考点01空间向量及其运算1．已知三棱锥OABC，点M，N分别为AB，OC的中点，且OAa，OBb，OCc，用a，b，c表示MN，则MN等于（）A．12bcaB．12abcC．12abcD．12cab【答案】D【分析】运用向量的线性运算即可求得结果．【详解】因为OAa，OBb，OCc，所以111222OCOAOMNONbOBaMc.故选：D.2．已知空间向量3,0,1,2,1,,1,2,3abnc，且2acb，则a与b的夹角的余弦值为（）A．21021B．21021C．721D．721【答案】B【分析】根据给定条件，利用空间向量坐标运算，求出n值，再利用夹角公式计算作答.【详解】向量3,0,1,2,1,,1,2,3abnc，则(2,2,2)ac，由2acb，得4222n，解得n4，(2,1,4)b，因此3(2)011(4)10ab，22||3110a，222||(2)1(4)21b，所以a与b的夹角的余弦值10210cos,21||||1021ababab.故选：B3．设空间向量1,2,am，2,,4bn，若//ab，则ab．【答案】9【分析】先利用空间向量共线定理，得到ba，由此求出m和n的值，得到a，b的坐标，求出ab的坐标，再利用向量模的计算公式求解即可．【详解】解：因为空间向量1,2,am，2,,4bn，且//ab，所以ba，即2,,41,2,mn，可得224nm，解得2m，n4，所以1,2,2a，2,4,4b则3,6,6ab，所以2223669ab．故答案为：94．在长方体1111ABCDABCD中，设11ADAA，2AB，则11CCCA．【答案】1【分析】由向量的线性运算，结合空间向量数量积的运算求解即可．【详解】如图所示，在长方体1111ABCDABCD中，设11ADAA，2AB，则1111111CCCAAAAAACAAAAAAAC211AAAAABAD2111AAAAABAAAD2100AA1.故答案为：1.5．如图，在棱长为2的正四面体ABCD中，,EF分别为棱,CDAD的中点，则BEBF．【答案】52/2.5【分析】根据向量线性运算，将BEBF转化为1122BCBDBABD，根据向量数量积的定义和运算律可求得结果.【详解】2111224BEBFBCBDBABDBCBABCBDBABDBD21π15322cos2104342.故答案为：52.6．已知向量1,2,3,2,4,6,14abc，若7abc，则,ac．【答案】120【分析】设,,cxyz，依题意可得22214237xyzxyz，再根据向量夹角公式即可求解.【详解】设,,,cxyz向量1,2,3,2,4,6,ab14,7cabc，1,2,3ab，22214237xyzxyz，设a与c的夹角为，231cos21414acxyzac，0180，120.故答案为：120.考点02空间共面向量定理7．已知点A，B，C，D分别位于四面体的四个侧面内，点O是空间任意一点，则“111236ODOAOBOC”是“A，B，C，D四点共面”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【答案】A【分析】根据空间向量共面定理，结合充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．【详解】充分性：因为111236ODOAOBOC，且1111236，由空间向量共面定理可知，A，B，C，D四点共面，所以充分性成立，必要性：若A，B，C，D四点共面，ODaOAbOBcOC，则1abcd，其中12a，13b，16c只是其中的一种情况，a，b，c也可以是其他和为1的取值，所以必要性不成立，综上所述，“111236ODOAOBOC”是“A，B，C，D四点共面”的充分不必要条件，故选：A．8．已知(2,1,3),(1,4,2),(1,3,)abc，若,,abc三向量共面，则实数等于（）A．1B．2C．3D．4【答案】A【分析】利用向量共面定理，设cmanb，列出方程组，即可求出实数．【详解】(2,1,3),(1,4,2),(1,3,)abc，,,abc三向量共面，可设cmanb，即(1,3,)(2,4,32)mnmnmn，214332mnmnmn，解得1,1,1mn．故选：A．9．（多选）在下列条件中，使M与A，B，C不一定共面的是（）A．32OMOAOBOCB．0OMOAOBOCC．0MAMBMCuuuruuuruuurrD．1142OMOBOAOC【答案】ABD【分析】根据各项中向量之间的线性关系，应用数形结合法判断M与A，B，C是否存在不共面的情况即可.【详解】A：23OMOBOCOA，如下图2OBOB，3OAOA，由||,||,||OBOCOM的关系不定，则A不一定在面BCM上，满足；B：OMOAOBOC，如下图,OBDBOCDC，此时满足上式，此时，M与A，B，C不共面，满足；C：因为0MAMBMC，所以MAMBMC，所以M，A，B，C共面，不满足.D：4()2OMOAOBOC，如下图4,4,2OAOAOMOMOCDC，此时，M与A，B，C不共面，满足；故选：ABD10．设a，b，c是三个不共面的向量，现在从①ab；②ab；③ac；④bc；⑤abcrrr中选出可以与a，b构成空间的一个基底的向量，则所有可以选择的向量为（填序号）.【答案】③④⑤【分析】利用空间向量基本定理即可求出结果.【详解】根据空间向量基本定理知，构成基底只要三个向量不共面即可，故①②不合题意，又a，b，c是三个不共面的向量，故只要含有向量c即可，故③④⑤都可以.故答案为：③④⑤.11．如图，从ABCDY所在平面外一点O作向量,,,OAkOAOBkOBOCkOCODkOD.求证：(1),,,ABCD四点共面；(2)平面//ABCD平面ABCD.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）利用共面向量定理证明，由ACABAD可得四点共面；（2）利用共线向量定理，可得：AB//AB，//ACAC，从而利用面面平行的判定定理即可证明.【详解】（1）证明：因为四边形ABCD为平行四边形，所以ACABAD，因为从ABCDY所在平面外一点O作向量,,,OAkOAOBkOBOCkOCODkOD，所以()()ACOCOAkOCOAkACkABAD()kOBOAODOAkOBkOAkODkOAOBOAODOAABAD,所以,,ACABAD共面，因为,,ACABAD有公共端点A，所以,,,ABCD四点共面；（2）证明：因为ABOBOAkOBkOAkAB，所以//ABAB，所以AB//AB，因为AB平面ABCD，AB平面ABCD，所以//ABABCD，由（1）知ACkAC，所以//ACAC，所以//ACAC，因为AC平面ABCD，AC平面ABCD，所以//AC平面ABCD，因为ABACA，,ABAC平面ABCD，所以平面//ABCD平面ABCD.12．如图所示，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，连接PA，PB，PC，PD，点E，F，G，H分别为PAB，PBC，PCD，PDA的重心．求证：E，F，G，H四点共面．【答案】证明见解析【分析】利用重心的性质并利用平面向量的加减法则将向量EG可表示成EFEH，根据空间向量的共面定理即可得出证明.【详解】如图，分别连接PE，PF，PG，PH并延长交AB，BC，CD，AD于点M，N，Q，R，连接EG，MQ，EF，EH．由于E，F，G，H分别是所在三角形的重心，所以M，N，Q，R分别为所在边的中点，即//MNAC，//QRAC，且12QRACMN；所以顺次连接M，N，Q，R所得的四边形MNQR为平行四边形，且有23PEPM，23PFPN，23PGPQ，23PHPR．由于四边形MNQR为平行四边形，可得222333EGPGPEPQPMMQ222233233333322322MNMRPNPMPRPMPFPEPHPEEFEH．由于三个向量有公共点E，根据空间向量的共面定理可得向量,,EGEFEH共面；所以,,,EFGH四点共面.考点03求平面的法向量13．已知向量2,4,ABx，平面α的一个法向量1,,3ny，若AB，则（）A．6,2xyB．2,6xyC．3420xyD．4320xy【答案】C【分析】根据得到得到nAB，从而得到关系式.【详解】由题意可知nAB，故2,4,1,,32430ABnxyyx，故选：C14．已如点1,1,0A，1,0,2B，0,2,0C者在平面内，则平面的一个法向量的坐标可以是（）A．31,1,2B．11,1,2C．2,2,3D．2,2,1【答案】C【分析】设出法向量,,nxyzr，利用向量垂直得到方程组，取2x求出2,2,3n，与2,2,3n共线的向量也是法向量，得到答案.【详解】由1,1,0A，1,0,2B，0,2,0C，得2,1,2AB，1,1,0AC，设,,nxyzr是平面的一个法向量，则0,0,nABnAC即2200xyzxy,取2x，则2,3yz，故2,2,3n，则与2,2,3n共线的向量也是法向量，经验证，只有C正确..故选：C．15．（多选）已知平面与平面平行，若1,2,4n是平面的一个法向量，则平面的法向量可能为（）A．1,2,4B．1,2,4C．2,4,8D．2,4,8【答案】AD【分析】由平行平面的法向量共线，可求解.【详解】设平面的法向量可能为m，则由题意可得//mn，对于A选项，1,2,4mn，满足题意；对于B选项，设1,2,41,2,4，无解，所以不符合题意；对于C选项，设2,4,81,2,4，无解，所以不符合题意；对于D选项，2,4,82mn，满足题意．故选：AD．16．（多选）已知平面内两向量1,1,1,0,2,1ab，且4,4,1cmanb，若c为平面的一个法向量，则（）A．1mB．1mC．2nD．2n【答案】AC【分析】先根据空间向量的坐标运算求出c，再根据数量积的坐标表示即可得解.【详解】4,4,14,24,1cmanbmmnmn，由c为平面的一个法