专题8.5 空间向量及其应用(解析版)

8.5空间向量及其应用思维导图知识点总结1.空间向量的有关概念名称定义空间向量在空间中，具有大小和方向的量相等向量方向相同且模相等的向量相反向量方向相反且模相等的向量共线向量(或平行向量)表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量共面向量平行于同一个平面的向量2.空间向量的有关定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(a≠0)，b与a共线的充要条件是存在实数λ，使b＝λa.(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.(3)空间向量基本定理：如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xe1＋ye2＋ze3.3.空间向量的数量积(1)两向量的数量积：设两个空间非零向量a，b，把|a||b|cos〈a，b〉叫作a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.(2)空间向量的坐标表示及其应用设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2).向量表示坐标表示数量积a·bx1x2＋y1y2＋z1z2共线b＝λa(a≠0，λ∈R)x2＝λx1，y2＝λy1，z2＝λz1垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)x1x2＋y1y2＋z1z2＝0模|a|x21＋y21＋z21夹角〈a，b〉(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝x1x2＋y1y2＋z1z2x21＋y21＋z21x22＋y22＋z224.空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为e1，e2l1∥l2e1∥e2⇔e1＝λe2(λ∈R)l1⊥l2e1⊥e2⇔e1·e2＝0直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，l⊄αl∥αe⊥n⇔e·n＝0l⊥αe∥n⇔e＝λn(λ∈R)平面α，β的法向量分别为n1，n2α∥βn1∥n2⇔n1＝λn2(λ∈R)α⊥βn1⊥n2⇔n1·n2＝0[常用结论]1.在平面中A，B，C三点共线的充要条件是：OA→＝xOB→＋yOC→(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点.2.在空间中P，A，B，C四点共面的充要条件是：OP→＝xOA→＋yOB→＋zOC→(其中x＋y＋z＝1)，O为空间任意一点.3.向量的数量积满足交换律、分配律，即a·b＝b·a，a·(b＋c)＝a·b＋a·c成立，但不满足结合律，即(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立.4.在利用MN→＝xAB→＋yAC→证明MN∥平面ABC时，必须说明M点或N点不在平面ABC内.典型例题分析考向一空间向量的线性运算及共线、共面定理1(1)(多选)已知平行六面体ABCD－A′B′C′D′，则下列四式中正确的有()A.AB→－CB→＝AC→B.AC′→＝AB→＋B′C′→＋CC′→C.AA′→＝CC′→D.AB→＋BB′→＋BC→＋C′C→＝AC′→答案ABC解析如图，作出平行六面体ABCD－A′B′C′D′，可得AB→－CB→＝AB→＋BC→＝AC→，则A正确；AB→＋B′C′→＋CC′→＝AB→＋BC→＋CC′→＝AC′→，则B正确；C显然正确；AB→＋BB′→＋BC→＋C′C→＝AB→＋BC→＝AC→，则D不正确.(2)(多选)下列说法中正确的是()A.|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件B.若AB→，CD→共线，则AB∥CDC.A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若OP→＝34OA→＋18OB→＋18OC→，则P，A，B，C四点共面D.若P，A，B，C为空间四点，且有PA→＝λPB→＋μPC→(PB→，PC→不共线)，则λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件答案CD解析由|a|－|b|＝|a＋b|，可得向量a，b的方向相反，此时向量a，b共线，反之，当向量a，b同向时，不能得到|a|－|b|＝|a＋b|，所以A不正确；若AB→，CD→共线，则AB∥CD或A，B，C，D四点共线，所以B不正确；由A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若OP→＝34OA→＋18OB→＋18OC→，因为34＋18＋18＝1，可得P，A，B，C四点共面，所以C正确；若P，A，B，C为空间四点，且有PA→＝λPB→＋μPC→(PB→，PC→不共线)，当λ＋μ＝1时，即μ＝1－λ，可得PA→－PC→＝λ(PB→＋CP→)，即CA→＝λCB→，所以A，B，C三点共线，反之也成立，即λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件，所以D正确.感悟提升1.(1)选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的基本要求.(2)解题时应结合已知和所求观察图形，正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，灵活运用三角形法则及平行四边形法则，就近表示所需向量.2.(1)对空间任一点O，OP→＝xOA→＋yOB→，若x＋y＝1，则点P，A，B共线.(2)证明空间四点P，M，A，B共面的方法.①MP→＝xMA→＋yMB→.②对空间任一点O，OP→＝OM→＋xMA→＋yMB→或OP→＝xOM→＋yOA→＋zOB→(x＋y＋z＝1)即可.考向二空间向量的数量积及应用2如图，正四面体ABCD(所有棱长均相等)的棱长为1，E，F，G，H分别是正四面体ABCD中各棱的中点，设AB→＝a，AC→＝b，AD→＝c，试采用向量法解决下列问题：(1)求EF→的模长；(2)求EF→，GH→的夹角.解(1)因为正四面体ABCD的棱长为1，E，F，G，H分别是正四面体ABCD中各棱的中点，AB→＝a，AC→＝b，AD→＝c，所以BE→＝12BC→＝12(AC→－AB→)＝12(b－a)，AF→＝12AD→＝12c，所以EF→＝EB→＋BA→＋AF→＝－12(b－a)－a＋12c＝12(c－a－b)，所以|EF→|2＝14(c－a－b)2＝14(c2＋a2＋b2－2a·c＋2a·b－2b·c)＝14(1＋1＋1－2×1×1×cos60°＋2×1×1×cos60°－2×1×1×cos60°)＝12，故|EF→|＝22.(2)在正四面体ABCD中，EF→＝12(c－a－b)，|EF→|＝22.同理，GH→＝12(b＋c－a)，|GH→|＝22.所以cos〈EF→，GH→〉＝EF→·GH→|EF→||GH→|＝12（c－a－b）·12（b＋c－a）22×22＝12[(c－a)2－b2]＝12(c2＋a2－2c·a－b2)＝12(1＋1－2×1×1×cos60°－1)＝0，所以EF→与GH→的夹角为90°.感悟提升由向量数量积的定义知，要求a与b的数量积，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a与b的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使a·b计算准确.3.如图所示，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.(1)求AC1的长；(2)求BD1与AC夹角的余弦值.解(1)记AB→＝a，AD→＝b，AA1→＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，∴a·b＝b·c＝c·a＝12.|AC1→|2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝1＋1＋1＋2×12＋12＋12＝6，∴|AC→1|＝6，即AC1的长为6.(2)∵BD1→＝b＋c－a，AC→＝a＋b，∴|BD1→|＝2，|AC→|＝3，BD1→·AC→＝(b＋c－a)·(a＋b)＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1，∴cos〈BD1→，AC→〉＝BD1→·AC→|BD1→||AC→|＝66.∴AC与BD1夹角的余弦值为66.4.(教材改编)如图，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且MN＝12ON，AP＝34AN，则OP→＝________(用向量OA→，OB→，OC→表示).答案14OA→＋14OB→＋14OC→解析OP→＝OA→＋AP→＝OA→＋34AN→＝OA→＋34(ON→－OA→)＝OA→＋34ON→－34OA→＝14OA→＋3413OB→＋13OC→＝14OA→＋14OB→＋14OC→.考向三利用空间向量证明(判断)平行与垂直5.如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点.证明：(1)BE⊥DC；(2)BE∥平面PAD；(3)平面PCD⊥平面PAD.证明依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系(如图)，可得B(1，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2).由E为棱PC的中点，得E(1，1，1).(1)向量BE→＝(0，1，1)，DC→＝(2，0，0)，故BE→·DC→＝0，所以BE⊥DC.(2)因为AB⊥AD，又PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以AB⊥PA，PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD，所以AB⊥平面PAD，所以向量AB→＝(1，0，0)为平面PAD的一个法向量，而BE→·AB→＝(0，1，1)·(1，0，0)＝0，所以BE⊥AB，又BE⊄平面PAD，所以BE∥平面PAD.(3)由(2)知平面PAD的法向量为AB→＝(1，0，0)，向量PD→＝(0，2，－2)，DC→＝(2，0，0)，设平面PCD的一个法向量为n＝(x，y，z)，则n·PD→＝0，n·DC→＝0，即2y－2z＝0，2x＝0，不妨令y＝1，可得n＝(0，1，1)为平面PCD的一个法向量.且n·AB→＝(0，1，1)·(1，0，0)＝0，所以n⊥AB→.所以平面PCD⊥平面PAD.感悟提升1.利用向量法证明(判断)平行、垂直关系，关键是建立恰当的坐标系(尽可能利用垂直条件，准确写出相关点的坐标，进而用向量表示涉及到直线、平面的要素).2.向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量，但向量证明仍然离不开立体几何的有关定理.6.(2021·浙江卷)如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，M，N分别是A1D，D1B的中点，则()A.直线A1D与直线D1B垂直，直线MN∥平面ABCDB.直线A1D与直线D1B平行，直线MN⊥平面BDD1B1C.直线A1D与直线D1B相交，直线MN∥平面ABCDD.直线A1D与直线D1B异面，直线MN⊥平面BDD1B1答案A解析法一以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(图略)，设AB＝2，则A1(2，0，2)，D(0，0，0)，D1(0，0，2)，B(2，2，0)，所以M(1，0，1)，N(1，1，1)，所以A1D→＝(－2，0，－2)，D1B→＝(2，2，－2)，MN→＝(0，1，0)，所以A1D→·D1B→＝－4＋0＋4＝0，所以A1D⊥D1B.又直线A1D与D1B是异面直线，所以直线A1D与D1B异面且垂直，故B，C不正确；因为平面ABCD的一个法向量为n＝(0，0，1)，所以MN→·n＝0×0＋0×1＋1×0＝0，MN→⊥n，所以MN∥平面ABCD，故A正确；设直线MN与平面BB1D1D所成的角为θ，因为平面BDD1B1的一个法向量为a＝(－1，1，0)，所以sinθ＝|cos〈MN→，a〉|＝|MN→·a||MN→|·|a|＝12＝22，所以直线MN与平面BB1D1D不垂直，故D不正确.故选A.法二连接AD1(图略)，则易得点M在AD1上，且M为AD1的中点，AD1⊥A1D.因为AB⊥平面AA1D1D，A1D⊂平面AA1D1D，所以AB⊥A1D，又AB∩AD1＝A，AB，AD1⊂平面ABD1，所以A1D⊥平面ABD1，又BD1⊂平面ABD1，显然A1D与BD1异面，所以A1D与BD1异面且垂直.在△ABD1中，由中位线定理可得MN∥AB，又MN⊄平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以MN∥平面ABCD.易知直线AB与平面BB1D1D成45°角，所以MN与平面BB1D1D不垂直.所以选项A正确.基础题型训练一、单选题1．若向量2,0,a，2,2,1b，且a与b的夹角