重难点08解三角形（5种题型）（原卷版）

重难点08解三角形（5种题型）考题考点考向2022新高考1第18题解三角形及其综合应用求角度及最值2021新高考2第18题解三角形及其综合应用求三角形的面积，应用余弦定理判断三角形的形状本专题是高考常考内容，结合往年命题规律，解三角形的题目多以解答题的形式出现，分值为10分。1．（2023•新高考Ⅰ）已知在△ABC中，A+B＝3C，2sin（A﹣C）＝sinB．（1）求sinA；（2）设AB＝5，求AB边上的高．2．（2023•新高考Ⅱ）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC面积为，D为BC的中点，且AD＝1．（1）若∠ADC＝，求tanB；（2）若b2+c2＝8，求b，c．一、真题多维细目表二、命题规律与备考策略三、2023真题抢先刷，考向提前知3．（2022•新高考Ⅰ）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝．（1）若C＝，求B；（2）求的最小值．4．（2022•新高考Ⅱ）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S1，S2，S3．已知S1﹣S2+S3＝，sinB＝．（1）求△ABC的面积；（2）若sinAsinC＝，求b．解三角形1．已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C＝π求C，由正弦定理求a、b．2．已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C＝π，求另一角．3．已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况．4．已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C＝π，求角C．四、考点清单5．方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成．正北或正南，北偏东××度，北偏西××度，南偏东××度，南偏西××度．6．俯角和仰角的概念：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角．如图中OD、OE是视线，是仰角，是俯角．7．关于三角形面积问题①S△ABC＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；②S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB；③S△ABC＝2R2sinAsinBsinC．（R为外接圆半径）④S△ABC＝；⑤S△ABC＝，（s＝（a+b+c））；⑥S△ABC＝r•s，（r为△ABC内切圆的半径）在解三角形时，常用定理及公式如下表：名称公式变形内角和定理A+B+C＝π+＝﹣，2A+2B＝2π﹣2C余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosAb2＝a2+c2﹣2accosBc2＝a2+b2﹣2abcosCcosA＝cosB＝cosC＝正弦定理＝2RR为△ABC的外接圆半径a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinCsinA＝，sinB＝，sinC＝射影定理acosB+bcosA＝cacosC+ccosA＝bbcosC+ccosB＝a面积公式①S△＝aha＝bhb＝chc②S△＝absinC＝acsinB＝bcsinA③S△＝④S△＝，（s＝（a+b+c））；⑤S△＝（a+b+c）r（r为△ABC内切圆半径）sinA＝sinB＝sinC＝一．正弦定理（共6小题）1．（2023•宝鸡模拟）在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，．（1）证明：2a＝b+c；（2）若cosA＝，a＝2，求△ABC的面积．2．（2023•和平区一模）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求A的大小；（2）若．（ⅰ）求△ABC的面积；（ⅱ）求cos（2C﹣A）．3．（2023•东风区校级模拟）已知a，b，c分别为△ABC内角A、B、C的对边，sinB﹣sinC＝sinC﹣cosB，五、题型方法且b＞c．（1）求A；（2）若a＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．4．（2023•益阳模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知asinA+csinC＝（asinC+b）sinB．（1）求B；（2）若AC边上的中线BD的长为2，求△ABC面积的最大值．5．（2023•靖远县模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角C；（2）若△ABC为锐角三角形，D为AB边的中点，求线段CD长的取值范围．6．（2023•潮阳区三模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．C＝，AB边上的高为．（1）若S△ABC＝2，求△ABC的周长；（2）求的最大值．二．余弦定理（共5小题）7．（2023•蒙城县校级三模）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且cos2C﹣cos2A＝sinAsinB﹣sin2B．（1）求∠C的大小；（2）已知a+b＝4，求△ABC的面积的最大值．8．（2023•琼山区校级一模）已知△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c．a＝2，b＝2，且cosA（ccosB+bcosC）+asinA＝0．（1）求A；（2）设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．9．（2023•广西模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．（1）证明：A＝B．（2）若D为BC的中点，从①AD＝4，②，③CD＝2这三个条件中选取两个作为条件证明另外一个成立．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．10．（2023•泸县校级模拟）已知△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足（b﹣a）（sinB+sinA）＝（b﹣c）sinC．（1）求A；（2）从下列条件中：①a＝；②S△ABC＝中任选一个作为已知条件，求△ABC周长的取值范围．11．（2023•大理州模拟）在①2a﹣b＝2ccosB，②S＝（a2+b2﹣c2），③sin（A+B）＝1+2sin2三个条件中选一个，补充在下面的横线处，然后解答问题．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设△ABC的面积为S，已知______．（1）求角C的值；（2）若b＝4，点D在边AB上，CD为∠ACB的平分线，△CDB的面积为，求边长a的值．三．三角形中的几何计算（共11小题）12．（2023•叙州区校级模拟）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（Ⅰ）求∠B的值；（Ⅱ）给出以下三个条件：条件①：a2﹣b2+c2+3c＝0；条件②：a＝，b＝1；条件③：S△ABC＝．这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面的问题：（ⅰ）求sinA的值；（ⅱ）求∠ABC的角平分线BD的长．13．（2023•江宁区校级模拟）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．（1）求角B的大小；（2）若，设△ABC的面积为S，满足，求b的值．14．（2023•鲤城区校级模拟）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（2A+B）＝2sinA（1﹣cosC）．（1）证明：b＝2a；（2）点D是线段AB上靠近点B的三等分点，且CD＝AD＝1，求△ABC的周长．15．（2023•湖南模拟）如图，在平面四边形ABCD中，BC＝，BE⊥AC于点E，BE＝，且△ACD的面积为△ABC面积的2倍．（1）求AD•sin∠DAC的值；（2）当CD＝3时，求线段DE的长．16．（2023•青羊区校级模拟）如图，△ABC是边长为2的正三角形，P在平面上且满足CP＝CA，记∠CAP＝θ．（1）若，求PB的长；（2）用θ表示S△PAB，并求S△PAB的取值范围．17．（2023•鼓楼区校级模拟）△ABC的角A，B，C的对边分别为的面积为．（1）若，求△ABC的周长；（2）设D为AC中点，求A到BD距离的最大值．18．（2023•三明三模）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＝2，a2＝c2+2c+4，CD平分∠ACB交AB于点D，CD＝．（1）求∠ADC；（2）求△BCD的面积．19．（2023•鼓楼区校级模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．（1）求角C；（2）若△ABC的中线CD长为，求△ABC面积的最大值．20．（2023•雁塔区校级模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求角C的大小；（2）若C的角平分线交AB于点D，且CD＝2，求a+2b的最小值．21．（2023•华龙区校级模拟）已知．（1）若，求函数f（x）的值域；（2）在△ABC，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（A）＝2，且△ABC的面积为，当a＝6时，求△ABC的周长．22．（2023•武汉模拟）在△ABC中，AB＝2，D为AB中点，．（1）若BC＝，求AC的长；（2）若∠BAC＝2∠BCD，求AC的长．四．解三角形（共22小题）23．（2023•沙坪坝区校级模拟）在△ABC中，A，B，C的对边为a，b，c，若已知a（a﹣4sinA）＝b（c﹣4sinC）；（1）证明：a2≥16sinB（c﹣4sinC）；（2）证明：当△ABC的面积为时，求a+b+c的值．24．（2023•福州模拟）已知函数，将f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位长度，得到函数g（x）的图象．（1）求函数g（x）的单调递减区间；（2）记锐角三角形ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，求a﹣b的取值范围．25．（2023•安庆二模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．（1）若角，求角A的大小；（2）若a＝4，，求b．26．（2023•爱民区校级三模）在△ABC中，．（Ⅰ）求∠A；（Ⅱ）若△ABC的面积为，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，求a的值．条件①：；条件②：；条件③：注：如果选择的条件不符合要求，第（II）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．27．（2023•桐城市校级一模）在△ABC中，三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，已知a＝4，＝．（1）若，求sinA；（2）若AB边上的中线长为，求AB的长．28．（2023•辽宁模拟）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求角B的大小；（2）若，且b＝3，求△ABC的面积S．29．（2023•云南模拟）已知函数在上单调，且．（1）求f（x）的解析式；（2）若钝角△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a＝2，，求△ABC周长的最大值．30．（2023•阳泉三模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+c2＝a2﹣bc．（1）求A；（2）若bsinA＝4sinB，且lgb+lgc≥1﹣2cos（B+C），求△ABC面积的取值范围．31．（2023•全国模拟）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知asinB+bcos（+）＝0．（1）求A；（2）若a＝，求△ABC面积的最大值．32．（2023•武侯区校级模拟）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．（1）求角C的大小；（2）已知b＝4，△ABC的面积为6，求sinB的值．33．（2023•定远县校级模拟）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，且．（1）求角C；（2）若，△ABC的面积为，求△ABC的周长．34．（2023•平顶山模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，6cosBcosC﹣1＝3cos（B﹣C）．（1）若，求cosC；（2）若c＝3，点D在BC边上，且AD平分，求△ABC的面积．35．（2023•厦门模拟）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求a的值；（2）点D在线段BC上，∠BAC＝120°，∠BAD＝45°，CD＝1，求△ABC的面积．36．（2023•泉州模拟）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的