4.2 利用导数求单调性（精讲）（学生版）

4.2利用导数求单调性（精讲）函数的单调性与导数的关系一般地，设函数y＝f(x)在某个区间(a，b)内有导数，函数f(x)的单调性与其导函数f′(x)的正负之间具有如下关系：①在某个区间(a，b)上，如果f′(x)0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增，区间(a，b)为函数y＝f(x)的单调增区间；②在某个区间(a，b)上，如果f′(x)0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递减，区间(a，b)为函数y＝f(x)的单调减区间．③在某个区间(a，b)上，如果f′(x)＝0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)上为常函数．易错点：讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则.一．利用导数求函数单调区间的方法法一：当导函数不等式可解时，解不等式f′(x)0或f′(x)0求出单调区间；（无参函数）确定函数单调区间的步骤①确定函数f(x)的定义域．②求f′(x)．③解不等式f′(x)0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；解不等式f′(x)0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．法二：当导函数方程f′(x)＝0可解时，解出方程的实根，依照实根把函数的定义域划分为几个区间，确定各区间f′(x)的符号，从而确定单调区间；法三：若导函数对应的方程、不等式都不可解，根据f′(x)的结构特征，利用图象与性质确定f′(x)的符号，从而确定单调区间．易错点：若所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间不能用“∪”及“或”连接，只能用“，”“和”隔开．二．根据函数单调性求参数的一般思路法一：由函数在区间[a，b]上单调递增(减)可知f′(x)≥0(f′(x)≤0)在区间[a，b]上恒成立，列出不等式；法二：利用分离参数法或函数的性质求解恒成立问题；法三：对等号单独检验，检验参数的取值能否使f′(x)在整个区间恒等于0．若f′(x)恒等于0，则参数的这个值应舍去；若只有在个别点处有f′(x)＝0，则参数可取这个值．法四：当函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题；当已知函数在某区间上不单调时，则转化为关于导函数的方程在该区间上有解问题．三．含参函数单调性的分类讨论1.研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．2.划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点．3.讨论点一般有三类：①自变量系数a分a0，a＝0，a0，②判别式Δ分Δ0，Δ＝0，Δ0，③两根的大小分x1x2，x1＝x2，x1x2.四．单调性的应用1．比较大小：若自变量不在同一单调区间内，则要利用函数的性质，将其转化到同一个单调区间上，再进行比较．2．利用单调性比较大小或解不等式，关键是根据题意构造辅助函数，利用构造的函数的单调性比较大小或解不等式．3．与抽象函数有关的不等式，要充分挖掘条件关系，恰当构造函数；题目中若存在f(x)与f′(x)的不等关系时，常构造含f(x)与另一函数的积(商)的函数，与题设形成解题链条，利用导数研究新函数的单调性，从而求解不等式．五．易错点1．在某区间内f′(x)0(f′(x)0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．2．可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零．注意：若所求函数的单调区间不止一个时，用“，”或“和”连接，不能用“∪”连接．考法一利用导数求函数的单调区间（无参）【例1-1】（2023春·湖北）函数()(2)exfxx的单调递增区间是（）A．(,1)B．(1,)C．(1,2)D．(0,3)【例1-2】（2023春湖南）函数ln()xfxx的单调递增区间是（）A．(,e)B．(0,e)C．10,eD．1,e【一隅三反】1．（2023春·河南）函数2ln2fxxx的单调递减区间为（）A．,1B．0,1C．0,2D．2,2．（2023春·吉林长春）函数321132fxxx的单调递增区间是（）A．,1,0,B．,10,C．1,0D．,01,3．（2023春·山东）若函数2123ln2fxxxx，则函数fx的单调递减区间为（）．A．0,1，3,B．0,2，3,C．0,3D．1,3考法二导函数图像判断原函数图像【例2-1】（2023春·广东）已知函数fx的图象如图所示，则下列说法中错误的是（）A．fx在区间,1上单调递减B．fx在区间1,4上单调递增C．当47x时，fx0D．当1x时，fx=0【例2-2】（2023·广西）设fx是函数fx的导函数，yfx的图象如图所示，则yfx的图象最有可能的是（）A．B．C．D．【一隅三反】1．（2023·山东）已知函数()fx的导函数()fx图像如图所示，则()fx的图像是图四个图像中的（）．A．B．C．D．2．（2023·山西）函数yfx的图象如图所示，则（）A．30fB．30fC．30fD．3f的符号不确定3．（2023春·河南新乡）已知定义在区间(,)ab上的函数()fx的导函数为()fx，()fx的图象如图所示，则（）A．()fx在13,xx上单调递增B．3()fxfxC．曲线()yfx在1xx处的切线的斜率为0D．()fx最多有3个零点4．（2023·海南）已知函数yfx的图象是下列四个图象之一，且其导函数yfx的图象如下图所示，则该函数的大致图象是（）A．B．C．D．考法三已知函数单调性求参数【例3-1】（2023春·北京海淀）已知函数2lnfxaxx，若fx在区间[1,2]上单调递增，则实数a的取值范围是___________；若fx在区间[1,2]上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是__________.【例3-2】（2023·天津）若函数343yxbx有三个单调区间，则b的取值范围是（）A．0bB．0bC．0bD．0b【例3-3】（2023·宁夏银川·银川一中校考三模）若函数2()ln2xfxx在区间1(,)3mm上不单调，则实数m的取值范围为（）A．203mB．213mC．213mD．m1【一隅三反】1.（2023·全国·统考高考真题）已知函数elnxfxax在区间1,2上单调递增，则a的最小值为（）．A．2eB．eC．1eD．2e2．（2023·陕西西安·统考三模）若函数2lnfxxaxx在区间1,e上单调递增，则a的取值范围是（）A．3,B．,3C．23,e1D．23,e13．（2023春·四川成都）若函数3()31fxxkx的单调递减区间为(1,1)，则实数k的值为（）A．1B．1C．3D．34．（2023春重庆）（多选）已知函数e1lnxfxaxaxx在1,22x上有三个单调区间，则实数a的取值可以是（）A．eB．2eC．2e2D．725．（2023·陕西）函数2e244xfxxx在区间1,1kk上不单调，实数k的范围是____________.考法四单调性的应用--比较大小【例4-1】．（2023·河南洛阳·模拟预测）已知函数||2exfxx，若ln4af，21lnebf，1.12cf，则a，b，c的大小关系为（）A．abcB．acbC．cabD．cba【例4-2】（2023·甘肃定西·统考模拟预测）已知121e2a，ln22b，1ec，则下列判断正确的是（）A．c＜b＜aB．b＜a＜cC．c＜a＜bD．a＜b＜c【例4-3】（2023·河南洛阳·洛宁县第一高级中学校考模拟预测）已知352,e,ln5ln45abc则（）A．abcB．acbC．bacD．bca【一隅三反】1．（2023·全国·高三专题练习）已知ln22a，1eb，2ln39c，则a，b，c的大小关系为（）A．abcB．acbC．bacD．bca2．（2023·山西·校联考模拟预测）设12ea，lnπ2πb，ln33c，则（）A．bcaB．bacC．abcD．acb3．（2023·河北·统考模拟预测）设ln33a，21eb，2lnπ4πc，则（）A．abcB．acbC．bacD．cba考法五单调性的应用--解不等式【例5-1】（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考二模）已知函数2cosfxxx，则11fxf的解集为（）A．2,B．,0C．0,2D．,02,【例5-2】（2023春·四川凉山·）已知函数()()fxxR满足11f，且fx的导函数1()2fx，则1()22xfx的解集为（）A．,0B．,1C．0,D．1,【一隅三反】1．（2023·江西·校联考模拟预测）已知函数()sinfxxx，则不等式(1)(12)0fxfx的解集是______.2．（2023春·江苏盐城）已知函数()fx的定义域为R，()fx为()fx的导函数，且0xfxfx，则不等式2222xfxxfx的解集是（）A．2,1B．,21,C．,12,D．()1,2-3．（2023·广东深圳·统考模拟预测）已知函数2()2cosfxxx，xR，若133loglog21fafaf，则实数a的取值范围为______．考法六含参函数单调性的分类讨论【例6-1】（2023·河北·模拟预测）已知函数eeRxfxaxa.讨论函数fx的单调性；【例6-2】．2023·广东佛山·校联考模拟预测）已知函数()lnln(1)2(0)fxxaaxa，讨论()fx的单调性；【例6-3】（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考二模）已知函数2ln1ln1,Rfxxaxxa，讨论函数fx的单调性；【例6-4】（2023·山东济宁·嘉祥县第一中学统考三模）已知函数2ln20fxaxxaxa，讨论函数fx的单调性；【例6-5】（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）已知函数2e23xfxxaxa，讨论fx的单调性；【一隅三反】1．（2023·陕西咸阳）已知231e03xafxxxaxxaR，讨论函数fx的单调性；2．（2023·广西玉林·统考模拟预测）已知函数22132ln2fxxaxax，0a，讨论fx的单调区间；3（2023·贵州）已知函数22lnfxaxaxx.讨论fx的单调性；4．（2023·安徽合肥·合肥市第八中学校考模拟预测）已知函数()eexxafx，讨论函数fx的单调性；5．（2023·山东德州·三模）已知函数21ln()2fxxax，其中aR．(1)当1a时，求函数fx在1,1f处的切线方程；(2)讨论函数fx的单调性；