第13讲 函数的应用和函数模型（精讲）【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）第13讲函数的应用和函数模型（精讲）题型目录一览①求函数的零点和判断零点所在区间②与零点有关的参数问题③二分法的应用④常见函数模型Ⅰ-二次和分段函数⑤常见函数模型Ⅱ-指对幂函数【★文末附录-函数的应用思维导图】1.函数的零点对于函数yfx，我们把使0fx的实数x叫做函数yfx的零点.2.方程的根与函数零点的关系方程0fx有实数根函数yfx的图像与x轴有公共点函数yfx有零点.3.零点存在性定理如果函数yfx在区间,ab上的图像是连续不断的一条曲线，并且有0fafb，那么函数yfx在区间,ab内有零点，即存在,cab，使得0,fcc也就是方程0fx的根.4.二分法对于区间,ab上连续不断且0fafb的函数fx，通过不断地把函数fx的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程0fx的近似解就是求函数fx零点的近似值.5.用二分法求函数fx零点近似值的步骤（1）确定区间,ab，验证0fafb，给定精度.（2）求区间,ab的中点1x.一、知识点梳理（3）计算1fx.若10,fx则1x就是函数fx的零点；若10fafx，则令1bx（此时零点01,xax）.若10fbfx，则令1ax（此时零点01,xxb）（4）判断是否达到精确度，即若ab，则函数零点的近似值为a（或b）；否则重复第（2）~（4）步.（用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成.）6.几种常见的函数模型：函数模型函数解析式一次函数模型abaxxf()(，b为常数且)0a反比例函数模型kbxkxf()(，b为常数且)0a二次函数模型acbxaxxf()(2，b，c为常数且)0a指数函数模型acbaxfx()(，b，c为常数，0b，0a，1)a对数函数模型acxbxfa(log)(，b，c为常数，0b，0a，1)a幂函数模型abaxxfn()(，b为常数，)0a7.解函数应用问题的步骤：(1)审题：弄清题意，识别条件与结论，弄清数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用已有知识建立相应的数学模型;(3)解模：求解数学模型，得出结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题．【常用结论】函数的零点相关技巧:①若连续不断的函数)(xf在定义域上是单调函数，则)(xf至多有一个零点.②连续不断的函数)(xf，其相邻的两个零点之间的所有函数值同号.③连续不断的函数)(xf通过零点时，函数值不一定变号.④连续不断的函数)(xf在闭区间][ba，上有零点，不一定能推出0)()(bfaf.二、题型分类精讲一、单选题1．（2020·全国·统考高考真题）在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（）A．10名B．18名C．24名D．32名2．（2020·海南·统考高考真题）基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e)rtIt描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)（）A．1.2天B．1.8天C．2.5天D．3.5天3．（2020·天津·统考高考真题）已知函数3,0,(),0.xxfxxx…若函数2()()2()gxfxkxxkR恰有4个零点，则k的取值范围是（）A．1,(22,)2B．1,(0,22)2C．(,0)(0,22)D．(,0)(22,)4．（2021·天津·统考高考真题）设aR，函数22cos(22). ()2(1)5,xaxafxxaxaxa，若()fx在区间(0,)内恰有6个零点，则a的取值范围是（）A．95112,,424B．5711,2,424C．9112,,344D．11,2,3447二、填空题5．（2021·北京·统考高考真题）已知函数()lg2fxxkx，给出下列四个结论：①若0k，()fx恰有2个零点；②存在负数k，使得()fx恰有1个零点；刷真题明导向③存在负数k，使得()fx恰有3个零点；④存在正数k，使得()fx恰有3个零点．其中所有正确结论的序号是_______．6．（2022·天津·统考高考真题）设aR，对任意实数x，记2min2,35fxxxaxa．若fx至少有3个零点，则实数a的取值范围为______.题型一求函数的零点和判断零点所在区间策略方法1.确定函数零点个数的方法2.判断函数零点所在区间的方法【典例1】已知函数()hx是奇函数，且()()2fxhx，若2x是函数()yfx的一个零点，则(2)f（）A．4B．0C．2D．4【典例2】设方程20xx，2log0xx，21log0xx的实数根分别为a，b，c则（）A．abcB．acbC．bcaD．bac【题型训练】一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）已知方程32100xx的解在,1kkkZ内，则k（）A．0B．1C．2D．32．（2023·全国·高三专题练习）已知函数222,log,log2xfxxgxxxhxx的零点依次为,,abc，则（）A．abcB．cbaC．cabD．bac3．（2023·全国·高三专题练习）用二分法求方程41log02xx近似解时，所取的第一个区间可以是（）A．0,1B．1,2C．2,3D．3,4二、填空题4．（2023春·河南周口·高三校考阶段练习）函数22log(2)yx的零点是_________．5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数21,0,()log,0xxfxxx则函数yffx的所有零点之和为___________.6．（2023·全国·高三专题练习）函数2ln3fxxx的零点个数为________．7．（2023·全国·高三专题练习）设k为实数，函数22xfxxk在0,1上有零点，则实数k的取值范围为________．题型二与零点有关的参数问题策略方法已知函数有零点(方程有根)，求参数的值或取值范围【典例1】若函数 221,0ln1,0axaxxfxxax恰有2个零点，则实数a的取值范围为（）A．(,0)(1,)B．0,1C．(,1)D．(0,)【题型训练】一、单选题1．（湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2023届高三下学期5月模拟联考数学试题）设min{,}mn表示m，n中的较小数．若函数2()min||1,26fxxxaxa至少有3个零点，则实数a的取值范围是（）A．[12,)B．(,4](12,)C．(,4)[12,)D．(,4)2．（2023·全国·高三专题练习）若方程(xmxmm00，且1)m有两个不同实数根，则m的取值范围是（）A．01，B．2，C．012，，D．1，3．（河北省2023届高三适应性考试数学试题）已知函数ln,01,0xxxfxxxx，若yfxkx恰有两个零点，则k的取值范围为（）A．11,1eB．11,1eC．11,eD．11,11,e4．（天津市和平区2021-2022学年高一上学期期末质量调查数学试题）已知函数1(01)xyama有零点，则实数m的取值范围是（）A．,0B．,0C．0,1D．1,2二、多选题5．（2023·山西晋中·统考三模）已知函数lnfxxx，关于x的方程220efxfxa，下列结论正确的是（）A．存在Ra使方程恰有2个不相等的实根B．存在Ra使方程恰有4个不相等的实根C．存在Ra使方程恰有5个不相等的实根D．存在Ra使方程恰有6个不相等的实根三、填空题6．（北京市昌平区2022届高三二模数学试题）若函数2,0,(),0xbxfxxx有且仅有两个零点，则实数b的一个取值为______.7．（天津市河西区2023届高三一模数学试题）已知212,0e,0xaxxxfxx，且函数()1yfx恰有3个不同的零点，则实数a的取值范围是______．题型三二分法的应用【典例1】人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题．牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法．这种求方程根的方法，在科学界已被广泛采用．例如求方程322310xxx的近似解，先用函数零点存在定理，令32231fxxxx，250f，110f，得2,1上存在零点，取01x，牛顿用公式111nnnnfxxxfx反复迭代，以nx作为0fx的近似解，迭代两次后计算得到的近似解为______；以2,1为初始区间，用二分法计算两次后，以最后一个区间的中点值作为方程的近似解，则近似解为______．【题型训练】一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）用二分法研究函数5381fxxx的零点时，第一次经过计算得00f，0.50f，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为（）A．0,0.5，0.125fB．0,0.5，0.375fC．0.5,1，0.75fD．0,0.5，0.25f2．（2023·全国·高三专题练习）函数()fx的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下：()12f=-1.50.625f1.250.984f1.3750.260f1.4380.165f1.40650.052f那么方程的一个近似解（精确度为0.1）为（）A．1.5B．1.25C．1.41D．1.443．（2023·全国·高三专题练习）求下列函数的零点，可以采用二分法的是（）A．4()fxxB．()tan2()22fxxxC．()cos1fxxD．()23xfx二、填空题4．（2023·全国·高三专题练习）已知方程lg3xx的根在区间2,3上，第一次用二分法求其近似解时，其根所在区间应为__________．题型四常见函数模型Ⅰ-二次和分段函数【典例1】在中国很多乡村，燃放烟花爆竹仍然是庆祝新年来临的一种方式，烟花爆竹带来的空气污染非常严重，可喷洒一定量的去污剂进行处理.据测算，每喷洒一个单位的去污剂，空气中释放的去污剂浓度y（单位：毫克/立方米）随