第03讲 复数（练习）（解析版）

第03讲复数（模拟精练+真题演练）1．（2023·广西·统考模拟预测）已知i为虚数单位，复数z满足1i2z，则z（）A．3B．5C．3D．25【答案】B【解析】因为1i2z，所以222i12iiiz，所以12zi，∴22125z.故选：B.2．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）设zC，则在复平面内35z所表示的区域的面积是（）A．5πB．9πC．16πD．25π【答案】C【解析】满足条件3z的复数z在复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心，半径为3的圆，满足条件5z的复数z在复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心，半径为5的圆，则在复平面内35z所表示的区域为圆环，如下图中阴影部分区域所示：所以，在复平面内35z所表示的区域的面积是225316ππ.故选：C.3．（2023·浙江金华·统考模拟预测）若复数z满足2,2zzz.则z（）A．1iB．13iC．1iD．13i【答案】C【解析】设izab，izab，因为2,2zzz，所以22zza，解得：1a，22212zabb，故1b.故z1i.故选：C.4．（2023·广西桂林·校考模拟预测）已知复数2izmmmmR为纯虚数，则mz（）A．0B．1C．2D．2【答案】C【解析】因2izmmmmR为纯虚数，所以200mmm，解得1m，zi=所以1i112mz.故选：C.5．（2023·黑龙江哈尔滨·哈九中校考模拟预测）已知复数z满足i2123iz，则复数z的虚部为（）A．1B．-1C．iD．-i【答案】B【解析】由已知可得，23i2132iiz，所以2iz，所以，复数z的虚部为1.故选：B.6．（2023·辽宁·辽宁实验中学校联考模拟预测）若虚数z是关于x的方程220xxmmR的一个根，且2z，则m（）A．6B．4C．2D．1【答案】C【解析】设izab（,Rab且0b），代入原方程可得222(22)i0bamabba．所以2220220abamabb，解得2101bma，因为22||2zab，所以21,2bm．故选：C．7．（2023·江西赣州·统考二模）已知复数z满足i1z（i为虚数单位），则iz的最大值为（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】设复数z在复平面中对应的点为Z，由题意可得：ii1zz，表示复平面中点Z到定点0,1C的距离为1，所以点Z的轨迹为以0,1C为圆心，半径1r的圆，因为iz表示表示复平面中点Z到定点0,1B的距离，所以213ZBBCr，即iz的最大值为3.故选：C.8．（2023·河南安阳·统考三模）欧拉是十八世纪数学界最杰出的人物之一，数学史上称十八世纪为“欧拉时代”.1735年，他提出公式：复数iecosisin(iz是虚数单位).已知复数12213i,(1i)4zz，设i12ezz，则的值可能是（）A．5π12B．π12C．13π12D．25π12【答案】B【解析】113ππ2(i)2[cos()isin()]2233z，21221ππ(i)(cosisin)222244z，12ππππ[cos()isin()](cosisin)3344zzππππππππ[cos()cossin()sin]i[cos()sinsin()cos]34343434πi12ππcos()isin()e1212，依题意，π2π,Z12kk，当0k时，π12，B正确，ACD错误.故选：B9．（多选题）（2023·山东潍坊·统考二模）在复数范围内关于x的实系数一元二次方程220xpx的两根为12,xx，其中11ix，则（）A．2pB．21ixC．122ixxD．12ixx【答案】BD【解析】因为11ix且实系数一元二次方程220xpx的两根为12,xx，所以122xx，可得21221i1ixx，故B正确；又121i1i2xxp，所以2p，故A错误；由21ix，所以212(1i)2i2ixx，故C错误；2121i(1i)2i=i1i22xx，故D正确.故选：BD10．（多选题）（2023·湖南长沙·雅礼中学校考一模）已知复数z的共轭复数为z，则下列说法正确的是（）A．22zzB．zz一定是实数C．若复数1z，2z满足1212zzzz．则120zzD．若复数z的平方是纯虚数，则复数z的实部和虚部相等或者互为相反数【答案】BD【解析】当复数iz时，21z，21z，故A错；设izab（a，bR），则izab，所以2zzaR，故B对；设111izab（1a，1bR），222izab（2a，2bR），由1212zzzz可得222222121212121212zzaabbzzaabb，所以12120aabb，而12112212121212121212iii2izzababaabbabbaaaabba，不一定为0，故C错；设izab（a，bR），则2222izabab为纯虚数．所以22020abab，则0abab，故D对．故选：BD．11．（多选题）（2023·山西忻州·统考模拟预测）下列关于非零复数1z，2z的结论正确的是（）A．若1z，2z互为共轭复数，则12zzRB．若12zzR，则1z，2z互为共轭复数C．若1z，2z互为共轭复数，则121zzD．若121zz，则1z，2z互为共轭复数【答案】AC【解析】设1i,zababR，由1z，2z互为共轭复数，得2izab，则2212zzabR，故A正确．当1z22i，21iz时，124zzR，此时，1z，2z不是共轭复数，则B错误．由1z，2z互为共轭复数，得12zz，从而121zz，即121zz，则C正确．当12iz，212iz时，12zz，即121zz，此时，1z，2z不是共轭复数，则D错误．故选:AC12．（多选题）（2023·重庆·二模）下列关于复数的四个命题正确的是（）A．若2z，则4zzB．若72i3iz，则z的共轭复数的虚部为1C．若1i1z，则1iz的最大值为3D．若复数1z，2z满足12z，22z，1213izz，则1223zz【答案】ACD【解析】设i,(,R)zabab，对A，2224zab，22i)(i(4)zababazb，故正确；对B，72i3iz(2i)3iz，所以3i(3i)(2i)55iz1i2i(2i)(2i)5，z1i，其虚部为1，故错误；对C，由1i1z的几何意义，知复数z对应的动点Z到定点(1,1)的距离为1，即动点Z的轨迹为以(1,1)为圆心，1为半径的圆，1iz表示动点Z到定点(1,1)的距离，由圆的性质知，22max1i(11)(11)13z，故正确；对D，设12=+i,=+i,(,,,R)zmnzcdmncd，因为12z，22z，所以22224+=4mncd，，又1213izz，所以+=1,+=3mcnd，所以+=2mcnd，所以2212=|()+()i|=()+()zzmcndmcnd2222=+++2(+)=4+42?(2)=23mcndmcnd，故正确.故选：ACD13．（2023·天津和平·统考二模）复数z满足1i3iz，则z__________．【答案】1i/1i【解析】因为复数z满足1i3iz，所以3i21i1i1iz，故答案为：1i.14．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）若i为虚数单位，则计算232021i2i3i2021i___________．【答案】10101011i【解析】设232021i2i3i2021iS，2342022ii2i3i2021iS，上面两式相减可得，2320212022(1i)iiii2021iS202120222022i(1i)i(1i)2021i2021ii+20211i1i，则2021i1i2021i20202022i10101011i1i1i1i2S．故答案为：10101011i．15．（2023·上海·统考模拟预测）设12,Czz且12izz，满足111z，则12zz的取值范围为________________．【答案】0,22【解析】设12i,i,,,,Rzabzcdabcd，2izcd，则iiiiabcddc，所以adbc，22111i11zabab，所以2211ab，即1z对应点,ab在以1,0为圆心，半径为1的圆2211xy上.2iizcdba，2z对应点为,ba，,ab与,ba关于yx对称，所以点,ba在以0,1为圆心，半径为1的圆2211xy上，12zz表示,ab与,ba两点间的距离，圆2211xy与圆2211xy相交，圆心距为2，如图所示，所以12zz的最小值为0，最大值为21122，所以12zz的取值范围为0,22.故答案为：0,2216．（2023·安徽合肥·校联考三模）已知复数z满足1i1z（i是虚数单位），则z的最大值为__________【答案】21/12【解析】因为复数z满足1i1z，所以根据复数的几何意义有，复数z对应的点Z到点1,1A的距离为1，即点Z的轨迹为以1,1A为圆心，半径1r的圆，所以z的最大值为2211121OAr，故答案为：21.1．（2023•北京）在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1,3)，则z的共轭复数(z)A．13iB．13iC．13iD．13i【答案】D【解析】在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1,3)，13zi，则z的共轭复数13zi，故选：D．2．（2023•甲卷）若复数()(1)2aiai，aR，则(a)A．1B．0C．1D．2【答案】C【解析】因为复数()(1)2aiai，所以22(1)2aai，即22210aa，解得1a．故选：C．3．（2023•乙卷）设2521izii，则(z)A．12iB．12iC．2iD．2i【答案】B【解析】21i，5ii，2521izii2ii12i，12zi．故选：B．4．（2023•新高考Ⅱ）在复平面内，(13)(3)ii对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【解析】(13)(3)39368iiiii，则在复平面内，(13)(3)ii对应的点的坐标为(6,8)，位于第一象限．故选：A．5．（2023•新高考Ⅰ）已知122izi，则(zz)A．iB．iC．0D．1【答案】A【解析】21111(1)122212(1)(1)2iiiziiiii