考点02 常用逻辑用语（6种题型2个易错考点）（解析版）

考点02常用逻辑用语（6种题型2个易错考点）考题考点考向2022天津、浙江、北京充分必要条件充分必要条件的判断本专题是高考热考题型，难度小，分值5分，重点考察充分必要条件的判定和含有一个量词命题的否定，充分必要条件常与向量、数列、立体几何、不等式、函数等结合，考察基本概念、定理等，复习时以基础知识为主。1．（2022•天津）“x为整数”是“2x+1为整数”的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要D．既不充分也不必要【分析】分别判断充分性和必要性是否成立即可．【解答】解：x为整数时，2x+1也是整数，充分性成立；2x+1为整数时，x不一定是整数，如x＝时，所以必要性不成立，是充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查了充分必要条件的判断问题，是基础题．6．（2022•浙江）设x∈R，则“sinx＝1”是“cosx＝0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】利用同角三角函数间的基本关系，充要条件的定义判定即可．【解答】解：∵sin2x+cos2x＝1，①当sinx＝1时，则cosx＝0，∴充分性成立，②当cosx＝0时，则sinx＝±1，∴必要性不成立，∴sinx＝1是cosx＝0的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题考查了同角三角函数间的基本关系，充要条件的判定，属于基础题．14．（2022•北京）设{an}是公差不为0的无穷等差数列，则“{an}为递增数列”是“存在正整数N0，当n＞N0时，an＞0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件一、真题多维细目表二、命题规律与备考策略三、2022真题抢先刷，考向提前知【分析】根据等差数列的定义与性质，结合充分必要条件的定义，判断即可．【解答】解：因为数列{an}是公差不为0的无穷等差数列，当{an}为递增数列时，公差d＞0，令an＝a1+（n﹣1）d＞0，解得n＞1﹣，[1﹣]表示取整函数，所以存在正整数N0＝1+[1﹣]，当n＞N0时，an＞0，充分性成立；当n＞N0时，an＞0，an﹣1＜0，则d＝an﹣an﹣1＞0，必要性成立；是充分必要条件．故选：C．【点评】本题考查了等差数列与充分必要条件的应用问题，是基础题．一．充分条件与必要条件1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p⇒q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．事实上，与“p⇒q”等价的逆否命题是“￢q⇒￢p”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x∉q，则x∉p一定成立．2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件．【解题方法点拨】充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．【命题方向】充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几四、考点清单乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．二．全称量词和全称命题【全称量词】：短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词．符号：∀应熟练掌握全称命题与特称命题的判定方法1．全称量词与存在量词（1）全称量词：对应日常语言中的“一切”、“任意的”、“所有的”、“凡是”、“任给”、“对每一个”等词，用符号“∀”表示．（2）存在量词：对应日常语言中的“存在一个”、“至少有一个”、“有个”、“某个”、“有些”、“有的”等词，用符号“∃”表示．【全称命题】含有全称量词的命题．“对任意一个x∈M，有p（x）成立”简记成“∀x∈M，p（x）”．同一个全称命题、特称命题，由于自然语言的不同，可以有不同的表述方法，现列表如下命题全称命题∀x∈M，p（x）特称命题∃x0∈M，p（x0）表述方法①所有的x∈M，使p（x）成立①存在x0∈M，使p（x0）成立②对一切x∈M，使p（x）成立②至少有一个x0∈M，使p（x0）成立③对每一个x∈M，使p（x）成立③某些x∈M，使p（x）成立④对任给一个x∈M，使p（x）成立④存在某一个x0∈M，使p（x0）成立⑤若x∈M，则p（x）成立⑤有一个x0∈M，使p（x0）成立解题方法点拨：该部分内容是《课程标准》新增加的内容，要求我们会判断含有一个量词的全称命题和一个量词的特称命题的真假；正确理解含有一个量词的全称命题的否定是特称命题和含有一个量词的特称命题的否定是全称命题，并能利用数学符号加以表示．应熟练掌握全称命题与特称命题的判定方法．命题方向：该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知识点多而且全，多以小题形式出现．三．存在量词和特称命题【存在量词】：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词．符号：∃特称命题：含有存在量词的命题．符号：“∃”．存在量词：对应日常语言中的“存在一个”、“至少有一个”、“有个”、“某个”、“有些”、“有的”等词，用符号“∃”表示．【特称命题】含有存在量词的命题．“∃x0∈M，有p（x0）成立”简记成“∃x0∈M，p（x0）”．“存在一个”，“至少有一个”叫做存在量词．命题全称命题∀x∈M，p（x）特称命题∃x0∈M，p（x0）表述方法①所有的x∈M，使p（x）成立①存在x0∈M，使p（x0）成立②对一切x∈M，使p（x）成立②至少有一个x0∈M，使p（x0）成立③对每一个x∈M，使p（x）成立③某些x∈M，使p（x）成立④对任给一个x∈M，使p（x）成立④存在某一个x0∈M，使p（x0）成立⑤若x∈M，则p（x）成立⑤有一个x0∈M，使p（x0）成立解题方法点拨：由于全称量词的否定是存在量词，而存在量词的否定又是全称量词；因此，全称命题的否定一定是特称命题；特称命题的否定一定是全称命题．命题的“否定”与一个命题的“否命题”是两个不同的概念，对命题的否定是否定命题所作的判断，而否命题是对“若p则q”形式的命题而言，既要否定条件，也要否定结论．常见词语的否定如下表所示：词语是一定是都是大于小于词语的否定不是一定不是不都是小于或等于大于或等于词语且必有一个至少有n个至多有一个所有x成立词语的否定或一个也没有至多有n﹣1个至少有两个存在一个x不成立命题方向：本考点通常与全称命题的否定，多以小题出现在填空题，选择题中．四．命题的否定命题的否定就是对这个命题的结论进行否认．（命题的否定与原命题真假性相反）命题的否命题就是对这个命题的条件和结论进行否认．（否命题与原命题的真假性没有必然联系）．¬P不是命题P的否命题，而是命题P的否定形式．对命题“若P则Q“来说，¬P是“若P则非Q”；P的否命题是“若非P则非Q”注意两个否定：“不一定是”的否定是“一定是”；“一定不是”的否定是“一定是”．【解题方法点拨】若p则q，那么它的否命题是：若¬p则¬q，命题的否定是：若p则¬q．注意两者的区别．全（特）称命题的否定命题的格式和方法；要注意两点：1）全称命题变为特称命题；2）只对结论进行否定．将量词“∀”与“∃”互换，同时结论否定．【命题方向】命题存在中学数学的任意位置，因此命题的范围比较广，涉及知识点多，多以小题形式出现，是课改地区常考题型．一．充分条件与必要条件（共8小题）1．（2023•黄山模拟）“a＝4”是“直线ax+y+a＝0和直线4x+（a﹣3）y+a+5＝0平行”的五、题型方法（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据两直线平行求出参数a，再根据充分条件和必要条件的定义即可得出答案．【解答】解：∵直线ax+y+a＝0和直线4x+（a﹣3）y+a+5＝0平行，∴a×（a﹣3）﹣1×4＝0，解得a＝4或a＝﹣1，当a＝4，两直线分别为4x+y+4＝0，4x+y+9＝0，两直线平行，符合题意；当a＝﹣1，两直线分别为﹣x+y﹣1＝0，4x﹣4y+4＝0，即为x﹣y+1＝0，x﹣y+1＝0，两直线重合，不符合题意；综上所述：a＝4．故“a＝4”是“直线ax+y+a＝0和直线4x+（a﹣3）y+a+5＝0平行”的充要条件．故选：C．【点评】本题主要考查直线平行的性质，属于基础题．（多选）2．（2023•沙县模拟）下列命题正确的有（）A．∀x∈R，B．不等式x2﹣4x+5＞0的解集为RC．x＞1是x＞0的充分不必要条件D．若命题p：∃x∈R，x2+x+1＜0，则￢p：∀x∈R，x2+x+1≥0【分析】举反例判断A，根据一元二次函数的性质判断B，根据充分条件和必要条件的定义判断C，根据含量词的命题的否定方法判断D．【解答】解：当x＝﹣1时，，所以∀x∈R，是假命题，A错误；因为x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1＞0恒成立，则不等式x2﹣4x+5＞0的解集为R，B正确；因为x＞1，则x＞0，又当x＝0.5时，x＞0，但x＜1，所以由x＞0不能推出x＞1，所以x＞1是x＞0的充分不必要条件，C正确；若命题p：∃x∈R，x2+x+1＜0，则¬p：∀x∈R，x2+x+1≥0，D正确．故选：BCD．【点评】本题主要考查命题的真假判断与应用，考查转化能力，属于基础题．3．（2023•山西模拟）已知正实数a，b，则“2a+b＝4”是“ab≥2”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】利用基本不等式由2a+b＝4可得ab≤2，可得充分性不成立；当a＝2，b＝2时可得必要性不成立，即可得出结果．【解答】解：根据基本不等式可得，即，可得ab≤2，所以充分性不成立；若ab≥2，可令a＝2，b＝2满足ab≥2，此时2a+b＝6≠4；即必要性不成立；所以“2a+b＝4”是“ab≥2”的既不充分也不必要条件．故选：D．【点评】本题主要考查了基本不等式的应用，考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．4．（2023•佛山二模）记数列{an}的前n项和为Sn，则“S3＝3a2”是“{an}为等差数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】利用等差数列前n项和及性质，结合充分条件、必要条件的意义判断作答．【解答】解：数列{an}的前n项和为Sn，则S3＝a1+a2+a3＝3a2，数列{an}的前n项和为Sn，取a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，显然S3＝3a2，而a4﹣a3≠a3﹣a2，即数列{an}不是等差数列，所以“S3＝3a2”是“{an}为等差数列”的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查了充要条件的判定方法、等差数列的性质，考查了推理能力，属于基础题．（多选）5．（2023•五华区校级模拟）已知条件p：{x|x2+x﹣6＝0}，条件q：{x|xm+1＝0}，且p是q的必要条件，则m的值可以是（）A．B．C．﹣D．0【分析】根据必要条件转化为集合的包含关系，求解即可．【解答】解：设A＝{x|x2+x﹣6＝0}＝{﹣3，2}，B＝{x|xm+1＝0}，因为p是q的必要条件，所以B⊆A，①当B＝∅时，由mx+1＝0无解可得m＝0，符合题意；②当B≠∅时，B＝{2}或B＝{﹣3}，若B＝{2}时，由2m+1＝0解得，若B＝{﹣3}时，由﹣3m+1＝0解得．