专题10-2 不等式选讲题型归类（讲+练）-2023年高考数学二轮复习讲练测（全国通用）（解析版）

专题10-2不等式选讲题型归类目录讲高考.........................................................................................................................................1题型全归纳..................................................................................................................................6【题型一】绝对值不等式恒成立求参..........................................................................................6【题型二】绝对值三角不等式应用..............................................................................................9【题型三】绝对值不等式给解集求参数....................................................................................11【题型四】绝对值不等式与均值不等式....................................................................................13【题型五】柯西不等式型证明...................................................................................................15【题型六】柯西不等式求最值与参数........................................................................................18【题型七】三元不等式证明......................................................................................................20【题型八】利用三元不等式求最值............................................................................................22【题型九】分析法证明不等式...................................................................................................25【题型十】综合法证明不等式...................................................................................................27专题训练...................................................................................................................................30讲高考1．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）已知a，b，c都是正数，且3332221abc，证明：(1)19abc；(2)12abcbcacababc；【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）利用三元均值不等式即可证明；（2）利用基本不等式及不等式的性质证明即可．【详解】（1）证明：因为0a，0b，0c，则320a，320b，320c，所以33333322232223abcabc，即1213abc，所以19abc，当且仅当333222abc，即319abc时取等号．（2）证明：因为0a，0b，0c，所以2bcbc，2acac，2abab，所以3222aaabcbcabc，3222bbbacacabc，3222cccabababc333333222222122222abcabcabcbcacababcabcabcabcabc当且仅当abc时取等号．2．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）已知a，b，c均为正数，且22243abc，证明：(1)23abc；(2)若2bc，则113ac．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）方法一：根据22222242abcabc，利用柯西不等式即可得证；（2）由（1）结合已知可得043ac，即可得到1143ac，再根据权方和不等式即可得证.【详解】（1）[方法一]：【最优解】柯西不等式由柯西不等式有222222221112abcabc，所以23abc，当且仅当21abc时，取等号，所以23abc.[方法二]：基本不等式由222abab，2244bcbc，2244acac，222222224244349abcabcabbcacabc，当且仅当21abc时，取等号，所以23abc.（2）证明：因为2bc，0a，0b，0c，由（1）得243abcac，即043ac，所以1143ac，由权方和不等式知22212111293444acacacac，当且仅当124ac，即1a，12c时取等号，所以113ac.【点睛】（1）方法一：利用柯西不等式证明，简洁高效，是该题的最优解；方法二：对于柯西不等式不作为必须掌握内容的地区同学，采用基本不等式累加，也是不错的方法．3．已知函数225,02,0xxfxxxx.（1）求1ff的值；（2）求13fa，求实数a的取值范围.【答案】（1）3；（2）35a.【分析】（1）根据分段函数的解析式，代入计算即可；（2）先判断1a的取值范围，再代入分段函数解析式，得到13fa的具体不等式写法，解不等式即可.【详解】解：（1）因为10，所以12153f，因为30，所以2133233fff.（2）因为10a，则1215faa，因为13fa，所以2153a，即14a，解得35a.4．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）已知函数()2,()2321fxxgxxx．（1）画出yfx和ygx的图像；（2）若fxagx，求a的取值范围．【答案】（1）图像见解析；（2）112a【分析】（1）分段去绝对值即可画出图像；（2）根据函数图像数形结和可得需将yfx向左平移可满足同角，求得yfxa过1,42A时a的值可求.【详解】（1）可得2,2()22,2xxfxxxx，画出图像如下：34,231()232142,2214,2xgxxxxxx，画出函数图像如下：（2）()|2|fxaxa，如图，在同一个坐标系里画出,fxgx图像，yfxa是yfx平移了a个单位得到，则要使()()fxagx，需将yfx向左平移，即0a，当yfxa过1,42A时，1|2|42a，解得112a或52（舍去），则数形结合可得需至少将yfx向左平移112个单位，112a.【点睛】关键点睛：本题考查绝对值不等式的恒成立问题，解题的关键是根据函数图像数形结合求解.5．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）已知函数3fxxax．（1）当1a时，求不等式6fx的解集;（2）若fxa，求a的取值范围．【答案】（1）,42,.（2）3,2.【分析】（1）利用绝对值的几何意义求得不等式的解集.（2）利用绝对值不等式化简fxa，由此求得a的取值范围.【详解】（1）[方法一]：绝对值的几何意义法当1a时，13fxxx，13xx表示数轴上的点到1和3的距离之和，则6fx表示数轴上的点到1和3的距离之和不小于6，当4x或2x时所对应的数轴上的点到13，所对应的点距离之和等于6，∴数轴上到13，所对应的点距离之和等于大于等于6得到所对应的坐标的范围是4x或2x，所以6fx的解集为,42,.[方法二]【最优解】：零点分段求解法当1a时，()|1||3|fxxx．当3x时，(1)(3)6xx，解得4x；当31x时，(1)(3)6xx，无解；当1x时，(1)(3)6xx，解得2x．综上，|1||3|6xx的解集为(,4][2,)．（2）[方法一]：绝对值不等式的性质法求最小值依题意fxa，即3axax恒成立，333xaxxaax，当且仅当30axx时取等号，3minfxa,故3aa，所以3aa或3aa，解得32a.所以a的取值范围是3,2.[方法二]【最优解】：绝对值的几何意义法求最小值由||xa是数轴上数x表示的点到数a表示的点的距离，得()|||3||3|fxxaxa，故|3|aa，下同解法一.[方法三]：分类讨论+分段函数法当3a时，23,,()3,3,23,3,xaxafxaaxxax则min[()]3fxa，此时3aa，无解．当3a时，23,3,()3,3,23,,xaxfxaxaxaxa则min[()]3fxa，此时，由3aa得，32a．综上，a的取值范围为32a．[方法四]：函数图象法解不等式由方法一求得min3fxa后，构造两个函数|3|ya和ya，即3,3,3,3aayaa和ya，如图，两个函数的图像有且仅有一个交点33,22M，由图易知|3|aa，则32a．【整体点评】（1）解绝对值不等式的方法有几何意义法，零点分段法．方法一采用几何意义方法，适用于绝对值部分的系数为1的情况，方法二使用零点分段求解法，适用于更广泛的情况，为最优解；（2）方法一，利用绝对值不等式的性质求得3minfxa，利用不等式恒成立的意义得到关于a的不等式，然后利用绝对值的意义转化求解；方法二与方法一不同的是利用绝对值的几何意义求得fx的最小值，最有简洁快速，为最优解法方法三利用零点分区间转化为分段函数利用函数单调性求fx最小值，要注意函数fx中的各绝对值的零点的大小关系，采用分类讨论方法，使用与更广泛的情况；方法四与方法一的不同在于得到函数fx的最小值后，构造关于a的函数，利用数形结合思想求解关于a的不等式.题型全归纳【题型一】绝对值不等式恒成立求参【讲题型】例题1.已知函数=|313|fxxxk,4gxx．（Ⅰ）当3k时,求不等式4fx的解集；（Ⅱ）设1k,且当1,33kx