2023年高考数学二轮复习（全国版文） 第1部分 专题突破 专题2 微重点5　三角函数中ω，φ的范围

微重点5三角函数中ω，φ的范围问题三角函数中ω，φ的范围问题，是高考的重点和热点，主要考查由三角函数的最值(值域)、单调性、零点等求ω，φ的取值范围，难度中等偏上．考点一三角函数的最值(值域)与ω，φ的取值范围例1(1)若函数f(x)＝sinωx－π4(ω0)在0，π2上的值域是－22，1，则ω的取值范围是()A.0，32B.32，3C.3，72D.52，72答案B解析因为ω0，所以当x∈0，π2时，ωx－π4∈－π4，ωπ2－π4.又因为函数f(x)＝sinωx－π4(ω0)在0，π2上的值域是－22，1，所以π2≤ωπ2－π4≤5π4，解得32≤ω≤3.(2)已知函数f(x)＝sinωx＋acosωx(a0，ω0)的最大值为2，若使函数f(x)在区间[0,3]上至少取得两次最大值，则ω的取值范围是________．答案13π18，＋∞解析f(x)＝sinωx＋acosωx＝1＋a2sin(ωx＋φ)，因为f(x)max＝1＋a2＝2，a0，故a＝3，原式为f(x)＝2sinωx＋π3，当f(x)取到最大值时，ωx＋π3＝π2＋2kπ，k∈Z，当x∈[0,3]，f(x)取得两次最大值时，k分别为0和1，当k＝1时，ωx＋π3＝π2＋2π，x＝13π6ω，此时需满足13π6ω≤3，解得ω≥13π18.规律方法求三角函数的最值(值域)问题，主要是整体代换ωx±φ，利用正、余弦函数的图象求解，要注意自变量的范围．跟踪演练1已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)ω0，|φ|π2的图象与直线y＝1的相邻两个交点的距离为π，若对任意的x∈π24，π3，不等式f(x)12恒成立，则φ的取值范围是()A.π12，π6B.π12，π3C.π6，π3D.π6，π2答案A解析因为函数y＝f(x)的图象与直线y＝1的相邻两个交点的距离为π，所以函数y＝f(x)的最小正周期为T＝π，所以ω＝2πT＝2，所以f(x)＝sin(2x＋φ)．当x∈π24，π3时，π12＋φ2x＋φ2π3＋φ.因为－π2φπ2，所以－5π12π12＋φ7π12，π62π3＋φ7π6.又因为不等式f(x)12对任意的x∈π24，π3恒成立，所以π12＋φ≥π6，2π3＋φ≤5π6，解得π12≤φ≤π6.因此φ的取值范围是π12，π6.考点二单调性与ω，φ的取值范围例2(1)已知函数f(x)＝sinωx＋π4(ω0)在π16，π8上单调递减，则ω的最大值为____________．答案10解析f(x)＝sinωx＋π4，当x∈π16，π8且ω0时，πω16＋π4ωx＋π4πω8＋π4，因为f(x)在区间π16，π8上单调递减，所以πω16＋π4，πω8＋π4⊆π2＋2kπ，3π2＋2kπ(k∈Z)，即πω16＋π4≥π2＋2kπk∈Z，πω8＋π4≤3π2＋2kπk∈Z，解得4＋32k≤ω≤10＋16k(k∈Z)，因为ω0，从而4≤ω≤10，因此，ω的最大值为10.(2)(2022·柳州模拟)若直线x＝π4是曲线y＝sinωx－π4(ω0)的一条对称轴，且函数y＝sinωx－π4在区间0，π12上不单调，则ω的最小值为()A．9B．7C．11D．3答案C解析因为直线x＝π4是曲线y＝sinωx－π4(ω0)的一条对称轴，则π4ω－π4＝kπ＋π2，k∈Z，即ω＝4k＋3，k∈Z，由－π2≤ωx－π4≤π2得－π4ω≤x≤3π4ω，则函数y＝sinωx－π4在－π4ω，3π4ω上单调递增，而函数y＝sinωx－π4在区间0，π12上不单调，则3π4ωπ12，解得ω9，所以ω的最小值为11.规律方法若三角函数在区间[a，b]上单调递增，则区间[a，b]是该函数单调递增区间的子集，利用集合的包含关系即可求解．跟踪演练2已知f(x)＝sin(2x－φ)0φπ2在0，π3上单调递增，且f(x)在0，7π8上有最小值，那么φ的取值范围是()A.π6，π2B.π6，π4C.π3，π2D.π4，π3答案B解析由x∈0，π3，可得2x－φ∈－φ，2π3－φ，又由0φπ2，且f(x)在0，π3上单调递增，可得2π3－φ≤π2，所以π6≤φ＜π2.当x∈0，7π8时，2x－φ∈－φ，7π4－φ，由f(x)在0，7π8上有最小值，可得7π4－φ3π2，所以φπ4.综上，π6≤φπ4.考点三零点与ω，φ的取值范围例3(1)(2022·全国甲卷)设函数f(x)＝sinωx＋π3在区间(0，π)上恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是()A.53，136B.53，196C.136，83D.136，196答案C解析由题意可得ω0，故由x∈(0，π)，得ωx＋π3∈π3，πω＋π3.根据函数f(x)在区间(0，π)上恰有三个极值点，知5π2πω＋π3≤7π2，得136ω≤196.根据函数f(x)在区间(0，π)上恰有两个零点，知2ππω＋π3≤3π，得53ω≤83.综上，ω的取值范围为136，83.(2)(2022·龙岩质检)已知函数f(x)＝2sinωx－π6＋b(ω0)，若f(x)关于点(a，1)对称，且f(x)在区间[0,1]上有且仅有3个零点，则f34的取值范围是()A.－1，32B．[－1，3)C．[－1，3＋1)D．[0，3＋1)答案C解析因为f(x)关于点(a，1)对称，所以b＝1.所以f(x)＝2sinωx－π6＋1(ω0)，令f(x)＝0，则2sinωx－π6＋1＝0，即sinωx－π6＝－12，因为x∈[0,1]，所以ωx－π6∈－π6，ω－π6，因为f(x)在区间[0,1]上有且仅有3个零点，所以11π6≤ω－π619π6，则2π≤ω10π3，又f34＝2sin34ω－π6＋1，所以4π3≤3ω4－π67π3，则－1≤sin3ω4－π632，所以－1≤2sin3ω4－π6＋13＋1，即－1≤f343＋1.规律方法已知函数的零点、极值点求ω，φ的取值范围问题，一是利用三角函数的图象求解；二是利用解析式，直接求函数的零点、极值点即可，注意函数的极值点即为三角函数的最大值、最小值点．跟踪演练3设函数f(x)＝sinωx＋π5(ω0)，已知f(x)在[0,2π]上有且仅有5个零点．给出以下四个结论：①f(x)在(0,2π)上有且仅有3个极大值点；②f(x)在(0,2π)上有且仅有2个极小值点；③f(x)在0，π10上单调递增；④ω的取值范围是125，2910.其中所有正确结论的序号是()A．①④B．②③C．①②③D．①③④答案D解析如图，根据题意知，xA≤2πxB，根据图象可知函数f(x)在(0,2π)上有且仅有3个极大值点，所以①正确；但可能会有3个极小值点，所以②错误；根据xA≤2πxB，有24π5ω≤2π29π5ω，得125≤ω2910，所以④正确；当x∈0，π10时，π5ωx＋π5ωπ10＋π5，因为125≤ω2910，所以ωπ10＋π549π100π2，所以函数f(x)在0，π10上单调递增，所以③正确．专题强化练1．(2022·安康模拟)已知函数f(x)＝Atanωx＋π3(A0，ω0)的图象向左平移3π4个单位长度后与原图象重合，则实数ω的最小值是()A.43B.83C.163D．8答案A解析由题意可知，3π4是该函数的周期的整数倍，即3π4＝πω×k，k∈Z，解得ω＝4k3，k∈Z，又ω0，故其最小值为43.2．(2022·湖南六校联考)将函数f(x)＝3sinx－π6的图象向右平移φ(0φπ)个单位长度后得到g(x)的图象．若g(x)在π6，5π6上单调递增，则φ的取值范围为()A.π3，π2B.π6，π2C.π3，2π3D.π2，2π3答案B解析g(x)＝3sinx－π6－φ，当π6x5π6时，－φx－π6－φ2π3－φ，由0φπ，得－φ∈(－π，0)，2π3－φ∈－π3，2π3，有－φ≥－π2，2π3－φ≤π2，得π6≤φ≤π2.3．已知ω112，函数f(x)＝sin2ωx＋π4在区间π2，3π2内没有最值，则ω的取值范围为()A.16，12B.512，1124C.14，512D.512，1答案C解析由2ωx＋π4＝kπ＋π2，k∈Z，得x＝4k＋18ωπ，k∈Z，因为函数f(x)＝sin2ωx＋π4在区间π2，3π2内没有最值，所以对任意k∈Z，都有4k＋18ωπ∉π2，3π2，当ω＝12，k＝1时，4k＋18ωπ＝5π4∈π2，3π2，故选项A，D不正确；当ω＝1124时，存在k＝1使得4k＋18ωπ＝15π11∈π2，3π2，故选项B不正确．4．(2022·邵阳模拟)设函数f(x)＝sinωx＋π6(ω0)，已知f(x)在－π6，π4上单调递增，则f(x)在(0,2π)上的零点最多有()A．2个B．3个C．4个D．5个答案A解析由－π2＋2kπ≤ωx＋π6≤π2＋2kπ，k∈Z，得－2π3ω＋2kπω≤x≤π3ω＋2kπω，k∈Z，取k＝0，可得－2π3ω≤x≤π3ω.若f(x)在－π6，π4上单调递增，则－2π3ω≤－π6，π3ω≥π4，解得0ω≤43.若x∈(0,2π)，则ωx＋π6∈π6，2ωπ＋π6.设t＝ωx＋π6，则t∈π6，2ωπ＋π6，因为2ωπ＋π6∈π6，17π6，所以函数y＝sint在π6，2ωπ＋π6上的零点最多有2个．所以f(x)在(0,2π)上的零点最多有2个．5．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)ω0，|φ|π2，f－π8＝0，f(x)≤f3π8恒成立，且f(x)在区间－π12，π24上单调，那么下列说法中正确的是()①存在φ，使得f(x)是偶函数；②f(0)＝f3π4；③ω是奇数；④ω的最大值为3.A．①②③B．①③C．②④D．②③答案D解析由f(x)≤f3π8，知x＝3π8为函数f(x)图象的一条对称轴，所以f(0)＝f3π4.又f－π8＝0，所以2n＋14·T＝3π8－－π8＝π2(n∈Z)，即2n＋14·2πω＝π2(n∈Z)，即ω＝2n＋1(n∈Z)．因为f(x)在－π12，π24上单调，所以T2＝πω≥π24－－π12＝π8，所以ω≤8，所以ωmax＝7.因为|φ|π2，所以φ≠π2＋kπ(k∈Z)，所以不存在φ，使得f(x)是偶函数．6．(2022·萍乡模拟)设函数f(x)＝sin2x＋π4在区间a，a＋π3上的最大值为M，最小值为m，则M－m的最小值为()A.22B.12C．1－22D.2－12答案B解析当x∈a，a＋π3时，2x＋π4∈2a＋π4，2a＋π4＋2π3，令2x＋π4＝t，2a＋π4＝h，则问题转化为g(t)＝sint在h，h＋2π3上的最大值是M，最小值是m，由正弦函数性质，可知g(t)＝sint的周期是2π，要使得M－m最小，则g(t)的最大值或最小值点是区间