第25讲 空间向量与立体几何（原卷版）

第25讲空间向量与立体几何【知识点总结】一、空间向量的数量积运算1.两向量夹角已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OAa，OBb，则AOB叫做向量a，b的夹角，记作,ab，通常规定0,ab，如果,2ab，那么向量a，b互相垂直，记作ab.2.数量积定义已知两个非零向量a，b，则cos,abab叫做a，b的数量积，记作ab，即cos,ababab.零向量与任何向量的数量积为0，特别地，2aaa.3.空间向量的数量积满足的运算律：abab，abba（交换律）；abcabac（分配律）.二、空间向量的坐标运算及应用（1）设123,,aaaa，123,,bbbb，则112233,,abababab；112233,,abababab；123,,aaaa；112233abababab；112233//0,,abbababab；1122330abababab.（2）设111,,Axyz，222,,Bxyz，则212121,,ABOBOAxxyyzz.这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示该向量的有向线段的终点的坐标减起点的坐标.（3）两个向量的夹角及两点间的距离公式.①已知123,,aaaa，123,,bbbb，则2222123aaaaa；2222123bbbbb；112233abababab；112233222222123123cos,ababababaaabbb；②已知111,,Axyz，222,,Bxyz，则222121212ABxxyyzz,或者,dABAB.其中,dAB表示A与B两点间的距离，这就是空间两点的距离公式.（4）向量a在向量b上的射影为cos,abaabb.（5）设0nn是平面M的一个法向量，AB，CD是M内的两条相交直线，则0nAB，由此可求出一个法向量n（向量AB及CD已知）.（6）利用空间向量证明线面平行：设n是平面的一个法向量，l为直线l的方向向量，证明0ln，（如图8-155所示）.已知直线l（l），平面的法向量n，若0ln，则//l.（7）利用空间向量证明两条异面直线垂直：在两条异面直线中各取一个方向向量a，b，只要证明ab，即0ab.（8）利用空间向量证明线面垂直：即证平面的一个法向量与直线的方向向量共线.（9）证明面面平行、面面垂直，最终都要转化为证明法向量互相平行、法向量互相垂直.（10）空间角公式.①异面直线所成角公式：设a，b分别为异面直线1l，2l上的方向向量，为异面直线所成角的大小，则coscos,ababab.②线面角公式：设l为平面的斜线，a为l的方向向量，n为平面的法向量，为l与所成角的大小，则sincos,ananan.③二面角公式：设1n，2n分别为平面，的法向量，二面角的大小为，则12,nn或12,nn（需要根据具体情况判断相等或互补），其中1212cosnnnn.（11）点A到平面的距离为d，B，n为平面的法向量，则ABndn.【典型例题】例1．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，在三棱锥ABCD中，侧棱AB平面BCD，F为线段BD中点，23BCD，3AB，2BCCD.（1）证明：CF平面ABD；（2）设Q是线段AD上一点，二面角ABQC的正弦值为134，求DQDA的值.例2．（2022·全国·高三专题练习）如图，在等腰直角三角形PAD中，90A，8AD，3AB，B，C分别是PA，PD上的点，且//ADBC，M，N分别为BP，CD的中点，现将BCP沿BC折起，得到四棱锥PABCD，连结MN.（1）证明：//MN平面PAD；（2）在翻折的过程中，当4PA时，求平面PBC与平面PCD夹角的余弦值.例3．（2022·全国·高三专题练习）在棱长为1的正方体1111ABCDABCD中，E为线段11AB的中点，F为线段AB的中点.（1）求点B到直线1AC的距离；（2）求直线FC到平面1AEC的距离.例4．（2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥PABCD中，PB底面ABCD，底面ABCD为梯形，//ADBC，ADAB，且3,1PBABADBC．（Ⅰ）若点F为PD上一点且13PFPD，证明：//CF平面PAB；（Ⅰ）求二面角BPDA的大小；（Ⅰ）在线段PD上是否存在一点M，使得CMPA?若存在，求出PM的长；若不存在，说明理由．例5.（2022·全国·高三专题练习）如图，在正方体1111ABCDABCD中，E为1BB的中点.（1）证明：1//BC平面1ADE；（2）求直线1BC到平面1ADE的距离；（3）求平面1ADE与平面ABCD夹角的余弦值.【技能提升训练】一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）如图，在直三棱柱111ABCABC中，==2ABACABAC，，17AA，,EF分别是棱1111BCAC，的中点，则异面直线BE与CF所成角的大小为（）A．30B．45C．60D．902．（2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，底面ABCD为正方形，PABC，E为CD的中点，F为PC的中点，则异面直线BF与PE所成角的正弦值为（）A．789B．89C．539D．4593．（2022·全国·高三专题练习）如图，在圆锥SO中，AB，CD为底面圆的两条直径，ABCDO，且ABCD，3SOOB，14SESB，异面直线SC与OE所成角的正切值为（）A．222B．53C．1316D．1134．（2022·全国·高三专题练习（理））在正方体1111ABCDABCD中，E是1CC的中点，则直线BE与平面1BBD所成角的正弦值为（）A．105B．105C．155D．1555．（2022·全国·高三专题练习）在正方体1111ABCDABCD中，1DD中点为E，则二面角1ABEB的余弦值为（）A．1010B．8145145C．23D．456．（2022·全国·高三专题练习）若正四棱柱1111ABCDABCD的底边长为2，13BAB，E是1DD的中点，则11AC到平面EAC的距离为（）A．5B．25C．2305D．23037．（2022·全国·高三专题练习）在棱长为1的正方体1111ABCDABCD中，则平面1ABC与平面11ACD之间的距离为A．36B．33C．233D．328．（2022·全国·高三专题练习）已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，点E是A1B1的中点，则点A到直线BE的距离是()A．655B．455C．255D．559．（2021·浙江·杭州市余杭高级中学高二阶段练习）长方体1111ABCDABCD中，12ABAA，1AD，E为1CC的中点，则异面直线1BC与AE之间的距离是（）A．13B．2121C．23D．22121二、填空题10．（2022·全国·高三专题练习（文））如图，在长方体中，12ADAA，3AB，若E为AB中点，则点1B到平面1DEC的距离为________.三、解答题11．（2022·全国·高三专题练习）如图，在直三棱柱111ABCABC中，ACBC，1==2ACBCAA=．（1）求异面直线1AC和AB所成角的大小；（2）求直线1AC和平面11ABBA所成角的大小．12．（2022·天津南开·高三期末）如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABDC∥，DAAB，2ABAP，1DADC，E为PC上一点，且23PEPC.（1）求证：AE⊥平面PBC；（2）求证：PA∥平面BDE；（3）求平面AEB与平面AED的夹角的大小.13．（2022·上海·高三专题练习）如图，在四棱锥PABCD中，已知PA平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，90ABCBAD，2ABADAP，1BC.且Q为线段BP的中点（1）求直线CQ与PD所成角的大小；（2）求直线CQ与平面ADQ所成角的大小14．（2022·上海·高三专题练习）如图，空间几何体由两部分构成，上部是一个底面半径为1，高为2的圆锥，下部是一个底面半径为1，高为2的圆柱，圆锥和圆柱的轴在同一直线上，圆锥的下底面与圆柱的上底面重合，点P是圆锥的顶点，AB是圆柱下底面的一条直径，AA1、BB1是圆柱的两条母线，C是弧AB的中点.（1）求异面直线PA1与BC所成的角的大小；（2）求点B1到平面PAC的距离.15．（2022·上海·高三专题练习）如图,四棱锥PABCD中,底面ABCD为矩形,PA底面ABCD,1ABPA,3AD, ,FF分别为棱,PDPA的中点.（1）求证:B、C、E、F四点共面；（2）求异面直线PB与AE所成的角.16．（2022·天津和平·高三期末）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PAB△为正三角形，且侧面PAB底面ABCD，M为PD的中点.（1）求证：PB∥平面ACM；（2）求直线BM与平面PAD所成角的正弦值；（3）求平面PAC与平面PAD夹角的余弦值．17．（2022·全国·高三专题练习（理））如图，在三棱柱111ABCABC中，四边形11BCCB是菱形，ABBC，1C在底面ABC上的射影是BC的中点．（1）证明：1CB平面1ABC；（2）若2BCAB，求1CB与平面11ACCA所成角的正弦值．18．（2022·全国·模拟预测）如图所示，直三棱柱111ABCABC的上、下底面的顶点分别在圆柱1OO的上、下底面的圆周上，且AB过圆柱下底面的圆心,OD为1CB与1BC的交点.（1）求证://OD平面11ACCA；（2）若圆柱底面半径为2，母线长为4,6ABC，求直线1DA与平面11ACCA所成角的正切值.19．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，在三棱锥ABCD中，ADBC，2ADBD，42BC，26AC，45DBC.（1）求证：AD平面BCD；（2）若E为DC的中点，求直线AE与平面ABC所成角的正弦值.20．（2022·全国·高三专题练习（理））如图1，直角梯形ABCD中，ABCD，ABAD，1322ADDCAB．如图2，将图1中DAC△沿AC折起，使得点D在平面ABC上的正投影G在ABC内部．点E为AB的中点．连接DB，DE，三棱锥D－ABC的体积为122．对于图2的几何体．（1）求证：DEAC；（2）求DE与平面DAC所成角的正弦值．21．（2022·河北张家口·高三期末）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，M、N、E、F分别为AP、AD、DC、PB的中点.（1）证明：//AF平面MNE；（2）若平面PAD平面ABCD，PAD△为等边三角形，求二面角DPCB的正弦值.22．（2022·全国·模拟预测）如图①，直角梯形ABCD中，//ABCD，90ADC，点E，F分别在CD，AB上，EF//AD，22CEBFEF，将四边形AFED沿EF折起，使得点A，D分别到达点P，Q的位置，如图②，平面EFPQ平面BCEF，3EFPF.（1）求证：平面BEQ平面BCQ；（2）求二面角CPBF的余弦值.23．（2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥PABCD中，PA面ABCD，ABCD，且2CD，1AB，22BC，1PA，ABBC，N为PD的中点.（1）求证：AN∥平面PBC；（2）求平面PAD与平面PBC所成二面角的余弦值；（3）在线段PD上是否存在一点M，使得直线CM与平面PBC所成角的正弦值是32929，若存在，求出DMDP的值，若不存在，说明理由.2