数学-2024届新高三开学摸底考试卷（上海专用）（答案及评分标准）

2024届新高三开学摸底考试卷（上海）数学·答案及评分标准1．03xx2．23．2884．63,555．0.75/346．20232,27．24320xy8．329．π210．4,022211．212．①②④13141516CACB17．（1）因为(sin,cos)axx，(cos,3cos)bxx，则22sincos1axx，(sin,cos)(cos,3cos)abxxxx2sincos3cosxxx133sin2cos2222xxπ3sin232x，故2333()sin22223fxabaabaabx，因为fx最小正周期为π，所以2ππ2T，所以1，故()sin23fxx，由πππ2π22π232kxk，kZ，解得5ππππ1212kxk，kZ，所以fx的单调递增区间为5πππ,π1212kk，kZ.（2）由（1）及322Af，即ππ3sin2sin2332AA，又π0,2A，所以π2π33A，解得π3A，又ABC为锐角三角形，即π02π02BC，即π02π0π2BBA，解得ππ62B；由正弦定理得sin3sin2sinaAbBB，又ππ62B，则1sin,12B，所以3,32ab.18．（1）因为11ACAC，1ACBD，1ACBDD，AC，BD平面1ABC，所以1AC平面1ABC．又BC平面1ABC，所以1ACBC，又90ACB，即BCAC，而1ACACA，AC，1AC平面11ACCA，所以BC平面11ACCA．又因为BC平面ABC，所以平面11ACCA平面ABC．（2）由（1）知平面11ACCA平面ABC，又平面11ACCA平面ABCAC，1AAAC，1AA平面11ACCA，所以1AA平面ABC，又11AACC∥，所以1CC平面ABC，所以CA，CB，1CC两两垂直，以C为坐标原点，CA，CB，1CC的方向分别为x轴、y轴、x轴的正方向，建立空间直角坐标系如图所示：因为1AAAC，所以四边形11ACCA为矩形，又因为11ACAC，所以四边形11ACCA为正方形.因为2AC，1BC，所以12CC，所以0,0,0C，0,1,0B，12,0,2A，10,1,2B.由D是线段1AC的中点，得1,0,1D，所以0,1,0CB，12,0,2CA，11,1,1BD.设平面1ABC的一个法向量为,,nxyz，则10,0,nCBnCA即0,220,yxz取1x，则1z，所以1,0,1n，所以1111110116cos,323nBDnBDnBD.设直线1BD与平面1ABC所成的角为，则16sincos,3nBD，所以直线1BD与平面1ABC所成角的正弦值为63.19．（1）记“所选取的2名学生选考物理、化学、生物科目数量相等”为事件A，则两人选考物理、化学、生物科目数量（以下用科目数或选考科目数指代）为1的情况数为220C，数目为2的为240C，数目为3的有240C，则2222040402100CCC35C99PA．（2）由题意可知X的可能取值分别为0，1，2．当X为0时，对应概率为（1）中所求概率：2222040402100CCC350C99PX；当X为1时，1人选考科目数为1，另一人为2或1人为2，1人为3：1111204040402100CCCC16C133PX；当X为2时，1人为1，1人为3：1120402100CC6C1299PX．则分布列如图所示：X012P359916331699故X的期望为3516168001299339999EX．（3）由题意可得：性别纯理科生非纯理科生总计男性305585女性10515总计4060100零假设为0H：同时选考物理、化学、生物三科与学生性别相互独立，即同时选考物理、化学、生物与学生性别无关．2210030510555.2293.84140608515，所以依据小概率值0.05的独立性检验，我们推断0H不成立，即可以认为同时选考物理、化学、生物三科与学生性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.05．20．（1）由已知可得：2432acea，解得：2a，3c，则1b，则有C：2214xy；（2）由于直线l不能与y轴垂直，故设:3lxmy，22443xyxmy，代入可得22(4)2310mymy216(1)0m恒成立，设11,Axy，22,Bxy，则有122234myym，12214yym222121224(1)||1()44mABmyyyym点O到直线l的距离为231dm所以22221123||23132411OABmSABdmmm△当且仅当：2m时取最大值；（3）设直线MB的方程为xnyt22440xyxnyt，代入可得222(4)240nyntyt224(4)0nt，可设22,Bxy、33,Mxy则有23224ntyyn，223244tyyn，因为122,0,2,0AA，所以1223332333224MAMAyyykkxxx，因为33,Mxy在椭圆2214xy上，所以223314xy，所以223314xy，代入1223232233114==444MAMAxykkxx，且212BAMAkk，可得2212MABAkk，即32231222yyxx，即222323(2)(2)()(2)0nyyntyyt即222222(2)(4)2(2)(2)044ntntttnn由于20t，化简得23t，即直线MB恒过定点2,03.21．（1）由(12)cos22axx得2cos212axx，令2()cos212hxaxx，(0)2ha当1,02x时，2212x，0cos21x，若2a，则2()2012hxx，此时无解；若2a，24()2sin2(12)hxaxx，当102x时，()0hx，则()hx在1,02上单调递增，所以()hx至多有一个零点，而112cos102haaaa，(0)20ha，所以存在1,02m，使()0hm，即方程(12)cos22axx有且只有一个解，综上，实数a的取值范围为2,.（2）因为()sincosln(12)fxaxxx，所以2()cos2()12fxaxhxx，由（1）知2a，24()2sin2(12)hxaxx，显然()hx在π0,4上单调递减，又(0)4h，2π4204π12ha，所以存在π0,4k，()0hk，在(0,)k上，()0hx，在π,4k上，()0hx，可得()hx在(0,)k上单调递增，在π,4k上单调递减，又(0)20ha，所以()0hk，又π20π412h，所以()hx在π0,4上存在唯一零点0x，当00xx时()0hx，当0π4xx时，()0hx，而当ππ42x时，()0hx，即当00xx时，()0fx，当0π2xx时，()0fx，所以()fx在00,x上单调递增，在0π,2x上单调递减，即()fx在π0,2上有唯一极值点且为极大值点，又(0)0f，所以0()0fx，πln(1π)02f，所以()fx在π0,2上有唯一零点1x.综上，()fx在π0,2上存在极值点0x和零点1x.（3）先证明：012xx，因为由（2）知010π2,,2xxx，所以只需证明01(2)()0fxfx，000(2)sin4ln(14)2afxxx，由（2）知002(12)cos2axx，所以00000000sin42sin2(2)ln(14)ln(14)(12)cos212xxfxxxxxx，设πsin02yxxx，则1cos0yx，所以sinyxx单调递增，所以sin0xx，即sinxx，所以002sin2xx，得00004(2)ln(14)12xfxxx，令4()ln(14)12xxxx，2216()0(12)(14)xxxx，所以()x在0,上单调递减，所以()(0)0x，于是0(2)0fx，所以012xx，于是01cos2cosxx，又002cos2(12)xxa，所以有102cos(12)xxa，又0(12)0xa，所以有01(12)cos2axx.