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当前位置:首页 > 中学教育 > 高中教育 > 【新高考复习】第3讲 数学归纳法及其应用
第3讲数学归纳法及其应用一、选择题1.用数学归纳法证明“2n>2n+1对于n≥n0的正整数n都成立”时,第一步证明中的起始值n0应取()A.2B.3C.5D.6解析∵n=1时,21=2,2×1+1=3,2n>2n+1不成立;n=2时,22=4,2×2+1=5,2n>2n+1不成立;n=3时,23=8,2×3+1=7,2n>2n+1成立.∴n的第一个取值n0=3.答案B2.某个命题与正整数有关,如果当n=k(k∈N*)时该命题成立,那么可以推出n=k+1时该命题也成立.现已知n=5时该命题成立,那么()A.n=4时该命题成立B.n=4时该命题不成立C.n≥5,n∈N*时该命题都成立D.可能n取某个大于5的整数时该命题不成立解析显然A,B错误,由数学归纳法原理知C正确,D错.答案C3.利用数学归纳法证明不等式“1+12+13+…+12n-1n2(n≥2,n∈N*)”的过程中,由“n=k”变到“n=k+1”时,左边增加了()A.1项B.k项C.2k-1项D.2k项解析左边增加的项为12k+12k+1+…+12k+1-1共2k项,故选D.答案D4.对于不等式n2+nn+1(n∈N*),某同学用数学归纳法证明的过程如下:(1)当n=1时,12+11+1,不等式成立.(2)假设当n=k(k∈N*)时,不等式k2+kk+1成立,当n=k+1时,(k+1)2+k+1=k2+3k+2(k2+3k+2)+(k+2)=(k+2)2=(k+1)+1.∴当n=k+1时,不等式成立,则上述证法()A.过程全部正确B.n=1验得不正确C.归纳假设不正确D.从n=k到n=k+1的推理不正确解析在n=k+1时,没有应用n=k时的假设,不是数学归纳法.答案D5.用数学归纳法证明1+2+3+…+n2=n4+n22,则当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上()A.k2+1B.(k+1)2C.(k+1)4+(k+1)22D.(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2解析当n=k时,左端=1+2+3+…+k2.当n=k+1时,左端=1+2+3+…+k2+(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2,故当n=k+1时,左端应在n=k的基础上加上(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2.故选D.答案D二、填空题6.设Sn=1+12+13+14+…+12n,则Sn+1-Sn=________.解析∵Sn+1=1+12+…+12n+12n+1+…+12n+2n,Sn=1+12+13+14+…+12n.∴Sn+1-Sn=12n+1+12n+2+12n+3+…+12n+2n.答案12n+1+12n+2+12n+3+…+12n+2n7.数列{an}中,已知a1=2,an+1=an3an+1(n∈N*),依次计算出a2,a3,a4,猜想an=________.解析a1=2,a2=23×2+1=27,a3=273×27+1=213,a4=2133×213+1=219.由此,猜想an是以分子为2,分母是以首项为1,公差为6的等差数列.∴an=26n-5.答案26n-58.凸n多边形有f(n)条对角线.则凸(n+1)边形的对角线的条数f(n+1)与f(n)的递推关系式为________.解析f(n+1)=f(n)+(n-2)+1=f(n)+n-1.答案f(n+1)=f(n)+n-1三、解答题9.用数学归纳法证明:1+122+132+…+1n22-1n(n∈N*,n≥2).证明(1)当n=2时,1+122=542-12=32,命题成立.(2)假设n=k时命题成立,即1+122+132+…+1k22-1k.当n=k+1时,1+122+132+…+1k2+1(k+1)22-1k+1(k+1)22-1k+1k(k+1)=2-1k+1k-1k+1=2-1k+1,命题成立.由(1)(2)知原不等式在n∈N*,n≥2时均成立.10.数列{an}满足Sn=2n-an(n∈N*).(1)计算a1,a2,a3,a4,并由此猜想通项公式an;(2)证明(1)中的猜想.(1)解当n=1时,a1=S1=2-a1,∴a1=1;当n=2时,a1+a2=S2=2×2-a2,∴a2=32;当n=3时,a1+a2+a3=S3=2×3-a3,∴a3=74;当n=4时,a1+a2+a3+a4=S4=2×4-a4,∴a4=158.由此猜想an=2n-12n-1(n∈N*).(2)证明①当n=1时,a1=1,结论成立.②假设n=k(k≥1且k∈N*)时,结论成立,即ak=2k-12k-1,那么n=k+1时,ak+1=Sk+1-Sk=2(k+1)-ak+1-2k+ak=2+ak-ak+1,∴2ak+1=2+ak.∴ak+1=2+ak2=2+2k-12k-12=2k+1-12k.所以当n=k+1时,结论成立.由①②知猜想an=2n-12n-1(n∈N*)成立.11.(2017·昆明诊断)设n为正整数,f(n)=1+12+13+…+1n,经计算得f(2)=32,f(4)>2,f(8)>52,f(16)>3,f(32)>72,观察上述结果,可推测出一般结论()A.f(2n)>2n+12B.f(n2)≥n+22C.f(2n)≥n+22D.以上都不对解析因为f(22)>42,f(23)>52,f(24)>62,f(25)>72,所以当n≥1时,有f(2n)≥n+22.答案C12.设f(x)是定义在正整数集上的函数,且f(x)满足:“当f(k)≥k2成立时,总可推出f(k+1)≥(k+1)2成立”.那么,下列命题总成立的是()A.若f(1)1成立,则f(10)100成立B.若f(2)4成立,则f(1)≥1成立C.若f(3)≥9成立,则当k≥1时,均有f(k)≥k2成立D.若f(4)≥16成立,则当k≥4时,均有f(k)≥k2成立解析选项A,B的答案与题设中不等号方向不同,故A,B错;选项C中,应该是k≥3时,均有f(k)≥k2成立;对于选项D,满足数学归纳法原理,该命题成立.答案D13.设平面上n个圆周最多把平面分成f(n)片(平面区域),则f(2)=________,f(n)=________.(n≥1,n∈N*)解析易知2个圆周最多把平面分成4片;n个圆周最多把平面分成f(n)片,再放入第n+1个圆周,为使得到尽可能多的平面区域,第n+1个应与前面n个都相交且交点均不同,有n条公共弦,其端点把第n+1个圆周分成2n段,每段都把已知的某一片划分成2片,即f(n+1)=f(n)+2n(n≥1),所以f(n)-f(1)=n(n-1),而f(1)=2,从而f(n)=n2-n+2.答案4n2-n+214.数列{xn}满足x1=0,xn+1=-x2n+xn+c(n∈N*).(1)证明:{xn}是递减数列的充要条件是c<0;(2)若0<c≤14,证明数列{xn}是递增数列.证明(1)充分性:若c<0,由于xn+1=-x2n+xn+c≤xn+c<xn,∴数列{xn}是递减数列.必要性:若{xn}是递减数列,则x2<x1,且x1=0.又x2=-x21+x1+c=c,∴c<0.故{xn}是递减数列的充要条件是c<0.(2)若0<c≤14,要证{xn}是递增数列.即xn+1-xn=-x2n+c>0,即证xn<c对任意n≥1成立.下面用数学归纳法证明:当0<c≤14时,xn<c对任意n≥1成立.①当n=1时,x1=0<c≤12,结论成立.②假设当n=k(k≥1,k∈N*)时结论成立,即xk<c.因为函数f(x)=-x2+x+c在区间-∞,12内单调递增,所以xk+1=f(xk)<f(c)=c,∴当n=k+1时,xk+1<c成立.由①,②知,xn<c对任意n≥1,n∈N*成立.因此,xn+1=xn-x2n+c>xn,即{xn}是递增数列.
本文标题:【新高考复习】第3讲 数学归纳法及其应用
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