【新高考复习】考点14 导数的概念及应用（重点）-备战2022年高考数学一轮复习考点微专题（新高考地

考向14导数的概念及应用1．（2021·全国高考真题）若过点,ab可以作曲线exy的两条切线，则（）A．ebaB．eabC．0ebaD．0eab【答案】D【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果；解法二：画出曲线xye的图象，根据直观即可判定点,ab在曲线下方和x轴上方时才可以作出两条切线.【详解】在曲线xye上任取一点,tPte，对函数xye求导得exy，所以，曲线xye在点P处的切线方程为ttyeext，即1ttyexte，由题意可知，点,ab在直线1ttyexte上，可得11tttbaeteate，令1tftate，则tftate.当ta时，0ft，此时函数ft单调递增，当ta时，0ft，此时函数ft单调递减，所以，maxaftfae，由题意可知，直线yb与曲线yft的图象有两个交点，则maxabfte，当1ta时，0ft，当1ta时，0ft，作出函数ft的图象如下图所示：由图可知，当0abe时，直线yb与曲线yft的图象有两个交点.故选：D.解法二：画出函数曲线xye的图象如图所示，根据直观即可判定点,ab在曲线下方和x轴上方时才可以作出两条切线.由此可知0abe.故选：D.【点睛】解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性进行估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法.2．（2021·北京高考真题）已知函数232xfxxa．（1）若0a，求yfx在1,1f处切线方程；（2）若函数fx在1x处取得极值，求fx的单调区间，以及最大值和最小值．【答案】（1）450xy；（2）函数fx的增区间为,1、4,，单调递减区间为1,4，最大值为1，最小值为14.【分析】（1）求出1f、1f的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；（2）由10f可求得实数a的值，然后利用导数分析函数fx的单调性与极值，由此可得出结果.【详解】（1）当0a时，232xfxx，则323xfxx，11f，14f，此时，曲线yfx在点1,1f处的切线方程为141yx，即450xy；（2）因为232xfxxa，则222222223223xaxxxxafxxaxa，由题意可得224101afa，解得4a，故2324xfxx，222144xxfxx，列表如下：x,111,444,fx00fx增极大值减极小值增所以，函数fx的增区间为,1、4,，单调递减区间为1,4.当32x时，0fx；当32x时，0fx.所以，max11fxf，min144fxf.1.求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导．注意以下几点：连乘形式则先展开化为多项式形式，再求导；三角形式，先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；分式形式，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；复合函数，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元2.利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下三点：(1)函数在切点处的导数值是切线的斜率，即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标．(2)切点既在曲线上，又在切线上，切线还有可能和曲线有其它的公共点．(3)曲线y＝f(x)“在”点P(x0，y0)处的切线与“过”点P(x0，y0)的切线的区别：曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线是指点P为切点，若切线斜率存在，切线斜率为k＝f′(x0)，是唯一的一条切线；曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线，是指切线经过点P，点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．3.利用导数的几何意义求参数的基本方法利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围．4.求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点(1)注意曲线上横坐标的取值范围；(2)谨记切点既在切线上又在曲线上．1．导数的概念(1)一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或0|xxy，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx.(2)如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数称为函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的导函数．简称导数，记作f′(x)或y′.2．导数的几何意义函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．3．基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q，α≠0)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf(x)＝ax(a0且a≠1)f′(x)＝axlnaf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logax(a0且a≠1)f′(x)＝1xlnaf(x)＝lnxf′(x)＝1x4.导数的运算法则若f′(x)，g′(x)存在，则有[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；fxgx′＝fxgx－fxgx[gx]2(g(x)≠0)；[cf(x)]′＝cf′(x)．【知识拓展】复合函数的定义及其导数(1)一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)与u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．(2)复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．1．（2021·河南南阳市·高二其他模拟（理））已知函数2()62fxxx，且02fx，则0x（）A．2B．22C．32D．422．（2021·千阳县中学高三二模（理））已知21()(21)xfxxxe，21()[()]fxfx，32()[()]fxfx，…，1()[()]nnfxfx，*nN.设2()()xnnnnfxaxbxce，则100c（）A．9903B．9902C．9901D．99003．（2021·全国高三其他模拟（文））曲线1fxxbx在点,afa处的切线经过坐标原点，则ab___________.4．（2021·新沂市第一中学高三其他模拟）已知函数2()lnfxaxbx的图象在点(1,1)P处的切线与直线10xy垂直，则a的值为___________1．（2021·河南新乡市·高三三模（文））已知函数4fxxax，若02lim=12xfxfxx△△△△，则a（）A．36B．12C．4D．22．（2021·千阳县中学高三其他模拟（理））已知函数fx的定义域为0,，且满足：（1）0fx，（2）23fxxfxfx，则(1)(2)ff的取值范围是（）A．10,eB．3(,)eC．31,()eeD．3(,)ee3．（2021·全国高三月考（文））拉格朗日中值定理又称拉氏定理，是微积分学中的基本定理之一，它反映了函数在闭区间上的整体平均变化率与区间某点的局部变化率的关系，其具体内容如下：若fx在,ab上满足以下条件：①在,ab上图象连续，②在,ab内导数存在，则在,ab内至少存在一点c，使得fbfafcba（fx为fx的导函数）．则函数1exfxx在0,1上这样的c点的个数为（）A．1B．2C．3D．44．（2021·云南红河哈尼族彝族自治州·高三三模（文））丹麦数学家琴生是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.定义：函数fx在,ab上的导函数为fx，fx在,ab上的导函数为fx，若在,ab上0fx恒成立，则称函数fx在,ab上的“严格凸函数”，称区间,ab为函数fx的“严格凸区间”.则下列正确命题的序号为______.①函数3232xxfx在1,上为“严格凸函数”；②函数lnxfxx的“严格凸区间”为320,e；③函数22xmfxex在1,4为“严格凸函数”，则m的取值范围为,e.5．（2021·江苏高二专题练习）设函数exfxxa，若21e2f，则a______．6．（2021·合肥市第六中学高三其他模拟（理））已知fx为奇函数，当0x时，1xfxe，则曲线yfx在点1,1f处的切线方程是___________.7．（2021·河北饶阳中学高三其他模拟）曲线31()exfxxmx在点(1(1))f，处的切线与直线410xy垂直，则该切线的方程为__________.8．（2021·吉林松原市·高三月考）已知,0xyR，则221()2xxyy最小值为___________.9．（2021·广东佛山市·高三其他模拟）已知函数21()ln2fxxxx，则()fx所有的切线中斜率最小的切线方程为_________.10．（2021·全国高三其他模拟）函数()xfxex在(0,(0))f处的切线与坐标轴围成的图形面积为___________.11．（2021·全国高三其他模拟（文））已知函数2,xfxaexbabR在1x处的切线方程为210exy，则ln2f___.12．（2021·四川省绵阳南山中学高三其他模拟（文））设函数222lnxfxxxeaexex，其中e为自然对数的底数，曲线yfx在22f,处切线的倾斜角的正切值为2322ee．（1）求a的值；（2）证明：0fx．1．（2013·全国高考真题（文））已知函数22,0()ln(1),0xxxfxxx，若|()|fxax，则a的取值范围是（）A．(,0]B．(,1]C．[2,1]D．[2,0]2．（2020·全国高考真题（理））若直线l与曲线y=x和x2+y2=15都相切，则l的方程为（）A．y=2x+1B．y=2x+12C．y=12x+1D．y=12x+123．（2019·全国高考真题（理））已知曲线elnxyaxx在点1,ae处的切线方程为2yxb，则A．,1aebB．,1aebC．1,1aebD．1,1aeb4．（2016·四川高考真题（文））设直线l1，l2分别是函数f(x)=ln,01,{ln,1,xxxx图象上点P1，P­2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是A．