【新高考复习】考向29 数列求和（重点）-备战2022年高考数学一轮复习考点微专题（新高考地区专用

考向29数列求和1．（2021·浙江高考真题）已知数列na满足111,N1nnnaaana.记数列na的前n项和为nS，则（）A．100332SB．10034SC．100942SD．100952S【答案】A【分析】显然可知，10012S，利用倒数法得到2111111124nnnnaaaa，再放缩可得11112nnaa，由累加法可得24(1)nan，进而由11nnnaaa局部放缩可得113nnanan，然后利用累乘法求得6(1)(2)nann，最后根据裂项相消法即可得到1003S，从而得解．【详解】因为111,N1nnnaaana，所以0na，10032S．由211111111241nnnnnnnaaaaaaa21111111122nnnnaaaa，即11112nnaa根据累加法可得，111122nnna，当且仅当1n时取等号，12412(1)3111nnnnnnaanaaannan113nnanan，由累乘法可得6(1)(2)nann，当且仅当1n时取等号，由裂项求和法得：所以10011111111116632334451011022102S，即100332S．故选：A．【点睛】本题解题关键是通过倒数法先找到1,nnaa的不等关系，再由累加法可求得24(1)nan，由题目条件可知要证100S小于某数，从而通过局部放缩得到1,nnaa的不等关系，改变不等式的方向得到6(1)(2)nann，最后由裂项相消法求得1003S．2．（2011·全国高考真题（理））等比数列na的各项均为正数，且212326231,9aaaaa.（1）求数列na的通项公式；（2）设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列1nb的前n项和nT.【答案】（1）13nna；（2）21nn.【分析】（1）根据题意列出方程组，求出首项与公比，即可求出等比数列的通项公式即可；（2）由an＝13n化简bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，可得到bn的通项公式，求出1nb的通项公式，利用裂项相消法求和.【详解】（1）设数列{an}的公比为q,由23a＝9a2a6得23a＝924a,所以q2＝19.由条件可知q＞0,故q＝13.由2a1＋3a2＝1得2a1＋3a1q＝1,所以a1＝13.故数列{an}的通项公式为an＝13n.（2）bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－（1＋2＋…＋n）＝－12nn.故1211211nbnnnn.121111111122122311nnbbbnnn所以数列1nb的前n项和为21nn1.非等差、等比数列的一般数列求和，主要有两种思想(1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相消来完成；(2)不能转化为等差或等比的特殊数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和.2.解答数列应用题的步骤(1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意.(2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征、要求的是什么.(3)求解——求出该问题的数学解.(4)还原——将所求结果还原到实际问题中.1.特殊数列的求和公式(1)等差数列的前n项和公式：Sn＝n（a1＋an）2＝na1＋n（n－1）2d.(2)等比数列的前n项和公式：Sn＝na1，q＝1，a1－anq1－q＝a1（1－qn）1－q，q≠1.2.数列求和的几种常用方法(1)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解.(2)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.(3)错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n项和可用错位相减法求解.(4)倒序相加法如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解.【知识拓展】数列应用题常见模型(1)等差模型：如果后一个量比前一个量增加(或减少)的是同一个固定值，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差.(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是同一个固定的非零常数，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比.(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，应考虑an与an＋1(或者相邻三项等)之间的递推关系，或者Sn与Sn＋1(或者相邻三项等)之间的递推关系.1．（2021·南昌市豫章中学高三开学考试（理））已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=n2，记数列11nnaa的前n项和为Tn，n∈N*.则使得T20的值为（）A．1939B．3839C．2041D．40412．（2021·全国高三专题练习（理））设等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝2，S7＝35，将a3，a7，a11，a15中去掉一项后，剩下的三项按原来的顺序恰为等比数列{bn}的前三项，则数列{anbn}的前10项的和T10＝（）A．10212B．9212C．11212D．122123．（2021·南昌市豫章中学高二开学考试（理））已知数列na满足122aa，21cosnnaan，则数列na的前100项的和等于_______．4．（2022·全国高三专题练习）已知x表示不超过x的最大整数，例如：[2.3]2，1.52在数列na中，lg,nannN，记nT为数列na的前n项和，则2021T___________.1．（2021·全国高三（文））已知数列na满足2110nnnaaa(*nN)，且na中任何一项都不为1，设数列1na的前n项和为nS，若202220212022321aSa，则1a的值为（）A．23B．1C．32D．232．（2021·全国高三专题练习（文））我们把221nnF0,1,2,n叫“费马数”（费马是十七世纪法国数学家）．设2log1nnaF，1,2,3,n，设数列na的前n项和为nS，则使不等式12320212nSSSSn成立的正整数n的最小值是（）A．8B．9C．10D．1163．（2022·全国高三专题练习）设数列{an}满足113,34nnaaan，若21485nnnnnbaa，且数列{bn}的前n项和为nS，则nS（）A．2169nnB．42369nnC．1169nnD．2169nn4．（2021·江苏南京师大附中）已知i为虚数单位，则复数22019202012i3i2020i2021iz的虚部为（）A．1011B．1010C．1010D．10115．（2021·浙江高三开学考试）设fx是定义在R上的奇函数，满足2fxfx，数列na满足11a，且1*121nnaannnN.则22fa（）A．0B．1C．21D．226．（2022·全国高三专题练习（文））已知等差数列na中，35a，公差大于0，且41a是21a与73a的等比中项，设*11nnnbnNaa，则数列nb的前2020项和为（）A．20202021B．10102021C．20204039D．202040417．（2021·全国高三）已知数列na满足2222122nnaaaa，11a，22a，则下列表达式2222235674222224152637485aaaaaaaaaaaaaaa的值为____________．8．（2022·全国高三专题练习）已知数列na满足11a，21nnnaaa，数列nb的前n项和nS，1nnnaba.若100SkkZ，则k的最小值为_______________.9．（2021·云南昆明市·高三（文））已知等差数列na的前n项和为nS，33a，5712aa．（1）求na及nS；（2）令12nnbS，求数列2nnb的前n项和nT．10．（2021·吉林长春市·高三（理））设数列{}na的前n项和为nS，*11nnnaSSnN，11a.（1）求证：数列1nS是等差数列；（2）设2nnnbS，求数列nb的前n项和nT.11．（2021·乐清市知临中学高三月考）已知数列na和nb满足11a，121nnaa，且11112231Nnnnnbnnn.（1）求数列na和nb的通项公式；（2）设数列nnab的前n项和为nT，求满足2111nnnTab的正整数n的值.12．（2021·全国）已知数列na为等差数列，11a，2810aa.（1）求数列na的通项公式；（2）设数列112nannncaa，求数列nc的前n项和nT.1．（2012·四川高考真题（理））设函数()2cosfxxx，na是公差为8的等差数列，125()()()5fafafa，则2313[()]faaaA．0B．2116C．218D．213162．（2012·上海高考真题（理））设，.在中，正数的个数是（）A．25.B．50.C．75.D．100.3．（2011·安徽高考真题（文））若数列na的通项公式是132nnan，则1210aaa（）A．15B．12C．12D．154．（2015·江苏高考真题）数列满足，且（），则数列的前10项和为_______．5．（2012·福建高考真题（理））数列{an}的通项公式cos1,2nnan，前n项和为Sn，则S2012=___________6．（2021·全国高考真题）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为20dm12dm的长方形纸，对折1次共可以得到10dm12dm，20dm6dm两种规格的图形，它们的面积之和21240dmS，对折2次共可以得到5dm12dm，10dm6dm，20dm3dm三种规格的图形，它们的面积之和22180dmS，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折n次，那么1nkkS______2dm.7．（2015·天津高考真题（理））已知数列{}na满足212()*,1,2nnaqaqqnNaa为实数，且1，，且233445,,aaaaaa+++成等差数列.（Ⅰ）求q的值和{}na的通项公式；（Ⅱ）设*2221log,nnnabnaN，求数列nb的前n项和.8．（2012·江西高考真题（理））已知数列{an}的前n项和21()2nSnknkN,且Sn的最大值为8.（1）确定常数k，求an；（2）求数列922nna的前n项和Tn．9．（2014·浙江高考真题（理））已知数列和满足.若为等比数列，且（1）求与；（2）设．记数列的前项和为.（i）求；（ii）求正整数，使得对任意，均有．10．（2013·安徽高考真题（文））设数列满足，,且对任意，函数满足(Ⅰ)求数列