【新高考复习】课时跟踪检测（四十） 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 作业

课时跟踪检测（四十）直线的倾斜角与斜率、直线的方程一、基础练——练手感熟练度1．直线l的方程为3x＋3y－1＝0，则直线l的倾斜角为()A．150°B．120°C．60°D．30°解析：选A由直线l的方程为3x＋3y－1＝0可得直线l的斜率为k＝－33，设直线l的倾斜角为α(0°≤α180°)，则tanα＝－33，所以α＝150°.故选A.2．过点A(0,2)且倾斜角的正弦值是35的直线方程为()A．3x－5y＋10＝0B．3x－4y＋8＝0C．3x＋4y＋10＝0D．3x－4y＋8＝0或3x＋4y－8＝0解析：选D设所求直线的倾斜角为α，则sinα＝35，∴tanα＝±34，∴所求直线方程为y＝±34x＋2，即为3x－4y＋8＝0或3x＋4y－8＝0.故选D.3．在同一平面直角坐标系中，直线l1：ax＋y＋b＝0和直线l2：bx＋y＋a＝0有可能是()解析：选B由题意l1：y＝－ax－b，l2：y＝－bx－a，当a＞0，b＞0时，－a＜0，－b＜0.选项B符合．4．已知直线l的斜率为3，在y轴上的截距为另一条直线x－2y－4＝0的斜率的倒数，则直线l的方程为()A．y＝3x＋2B．y＝3x－2C．y＝3x＋12D．y＝－3x＋2解析：选A∵直线x－2y－4＝0的斜率为12，∴直线l在y轴上的截距为2，∴直线l的方程为y＝3x＋2，故选A.5．已知直线l经过A(2,1)，B(1，m2)两点(m∈R)，那么直线l的倾斜角的取值范围是()A．[0，π)B.0，π4∪π2，πC.0，π4D.π4，π2∪π2，π解析：选B直线l的斜率k＝1－m22－1＝1－m2，因为m∈R，所以k∈(－∞，1]，所以直线的倾斜角的取值范围是0，π4∪π2，π.6．已知e是自然对数的底数，函数f(x)＝(x－1)ex＋3e的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则直线l的横截距为________．解析：因为f′(x)＝ex＋(x－1)ex＝xex，所以切线l的斜率为f′(1)＝e，由f(1)＝3e知切点坐标为(1,3e)，所以切线l的方程为y－3e＝e(x－1)．令y＝0，解得x＝－2，故直线l的横截距为－2.答案：－2二、综合练——练思维敏锐度1．已知三点A(2，－3)，B(4,3)，C5，k2在同一条直线上，则k的值为()A．12B．9C．－12D．9或12解析：选A由kAB＝kAC，得3－－34－2＝k2－－35－2，解得k＝12.故选A.2．若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为()A.13B．－13C．－32D.23解析：选B依题意，设点P(a,1)，Q(7，b)，则有a＋7＝2，b＋1＝－2，解得a＝－5，b＝－3，从而可知直线l的斜率为－3－17＋5＝－13.故选B.3．过点(2,1)且倾斜角比直线y＝－x－1的倾斜角小π4的直线方程是()A．x＝2B．y＝1C．x＝1D．y＝2解析：选A∵直线y＝－x－1的斜率为－1，则倾斜角为3π4，依题意，所求直线的倾斜角为3π4－π4＝π2，∴斜率不存在，∴过点(2,1)的直线方程为x＝2.4．若k，－1，b三个数成等差数列，则直线y＝kx＋b必经过定点()A．(1，－2)B．(1,2)C．(－1,2)D．(－1，－2)解析：选A因为k，－1，b三个数成等差数列，所以k＋b＝－2，即b＝－2－k，于是直线方程化为y＝kx－k－2，即y＋2＝k(x－1)，故直线必过定点(1，－2)．5．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A(2,0)，B(0,4)，且AC＝BC，则△ABC的欧拉线的方程为()A．x＋2y＋3＝0B．2x＋y＋3＝0C．x－2y＋3＝0D．2x－y＋3＝0解析：选C因为AC＝BC，所以欧拉线为AB的中垂线，又A(2,0)，B(0,4)，故AB的中点为(1,2)，kAB＝－2，故AB的中垂线方程为y－2＝12(x－1)，即x－2y＋3＝0，故选C.6．直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率k的取值范围是()A.－1，15B.－1，12C．(－∞，－1)∪15，＋∞D．(－∞，－1)∪12，＋∞解析：选D设直线的斜率为k，则直线方程为y－2＝k(x－1)，直线在x轴上的截距为1－2k.令－3＜1－2k＜3，解不等式得k＜－1或k＞12.7．若直线x－2y＋b＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b的取值范围是()A．[－2,2]B．(－∞，－2]∪[2，＋∞)C．[－2,0)∪(0,2]D．(－∞，＋∞)解析：选C令x＝0，得y＝b2，令y＝0，得x＝－b，所以所求三角形面积为12b2|－b|＝14b2，且b≠0，因为14b2≤1，所以b2≤4，所以b的取值范围是[－2,0)∪(0,2]．8．(多选)已知直线l：mx＋y＋1＝0，A(1,0)，B(3,1)，则下列结论正确的是()A．直线l恒过定点(0,1)B．当m＝0时，直线l的斜率不存在C．当m＝1时，直线l的倾斜角为3π4D．当m＝2时，直线l与直线AB垂直解析：选CD直线l：mx＋y＋1＝0，故x＝0时，y＝－1，故直线l恒过定点(0，－1)，选项A错误；当m＝0时，直线l：y＋1＝0，斜率k＝0，故选项B错误；当m＝1时，直线l：x＋y＋1＝0，斜率k＝－1，故倾斜角为3π4，选项C正确；当m＝2时，直线l：2x＋y＋1＝0，斜率k＝－2，kAB＝1－03－1＝12，故k·kAB＝－1，故直线l与直线AB垂直，选项D正确．9．设点A(－2,3)，B(3,2)，若直线ax＋y＋2＝0与线段AB没有交点，则a的取值范围是()A.－∞，－52∪43，＋∞B.－43，52C.－52，43D.－∞，－43∪52，＋∞解析：选B易知直线ax＋y＋2＝0恒过点M(0，－2)，且斜率为－a.因为kMA＝3－－2－2－0＝－52，kMB＝2－－23－0＝43，由图可知－a＞－52且－a＜43，所以a∈－43，52.10．(2021·河北七校联考)直线(a－1)x＋y－a－3＝0(a＞1)，当此直线在x，y轴上的截距和最小时，实数a的值是()A．1B.2C．2D．3解析：选D当x＝0时，y＝a＋3，当y＝0时，x＝a＋3a－1，令t＝a＋3＋a＋3a－1＝5＋(a－1)＋4a－1.因为a＞1，所以a－1＞0.所以t≥5＋2a－1·4a－1＝9.当且仅当a－1＝4a－1，即a＝3时，等号成立．11．过点()－2，4且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的一般方程为____________________．解析：①当在坐标轴上截距为0时，所求直线方程为y＝－2x，即2x＋y＝0；②当在坐标轴上截距不为0时，∵在坐标轴上截距互为相反数，∴设x－y＝a，将A(－2,4)代入得，a＝－6，∴此时所求的直线方程为x－y＋6＝0.答案：2x＋y＝0或x－y＋6＝012．已知三角形的三个顶点A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，则BC边上中线所在的直线方程为____________．解析：由已知，得BC的中点坐标为32，－12，且直线BC边上的中线过点A，则BC边上中线的斜率k＝－113，故BC边上的中线所在直线方程为y＋12＝－113x－32，即x＋13y＋5＝0.答案：x＋13y＋5＝013．曲线y＝x3－x＋5上各点处的切线的倾斜角的取值范围为____________．解析：记曲线上点P处的切线的倾斜角是θ，因为y′＝3x2－1≥－1，所以tanθ≥－1，所以θ为钝角时，应有θ∈3π4，π；θ为锐角时，tanθ≥－1显然成立．综上，θ的取值范围是0，π2∪3π4，π.答案：0，π2∪3π4，π14．若过点P(1－a,1＋a)与Q(4,2a)的直线的倾斜角为钝角，且m＝3a2－4a，则实数m的取值范围是________．解析：设直线的倾斜角为α，斜率为k，则k＝tanα＝2a－1＋a4－1－a＝a－1a＋3，又α为钝角，所以a－1a＋30，即(a－1)·(a＋3)0，故－3a1.关于a的函数m＝3a2－4a的图象的对称轴为a＝－－42×3＝23，所以3×232－4×23≤m3×(－3)2－4×(－3)，所以实数m的取值范围是－43，39.答案：－43，3915．菱形ABCD的顶点A，C的坐标分别为A(－4,7)，C(6，－5)，BC边所在直线过点P(8，－1)．求：(1)AD边所在直线的方程；(2)对角线BD所在直线的方程．解：(1)kBC＝－5－－16－8＝2，∵AD∥BC，∴kAD＝2.∴AD边所在直线的方程为y－7＝2(x＋4)，即2x－y＋15＝0.(2)kAC＝－5－76－－4＝－65.∵菱形的对角线互相垂直，∴BD⊥AC，∴kBD＝56.∵AC的中点(1,1)也是BD的中点，∴对角线BD所在直线的方程为y－1＝56(x－1)，即5x－6y＋1＝0.16．过点P(2,1)作直线l，与x轴和y轴的正半轴分别交于A，B两点，求：(1)△AOB面积的最小值及此时直线l的方程；(2)求直线l在两坐标轴上截距之和的最小值及此时直线l的方程；(3)求|PA|·|PB|的最小值及此直线l的方程．解：(1)设直线l的方程为y－1＝k(x－2)，则可得A2k－1k，0，B(0,1－2k)．∵与x轴，y轴正半轴分别交于A，B两点，∴2k－1k0，1－2k0⇒k0.于是S△AOB＝12·|OA|·|OB|＝12·2k－1k·(1－2k)＝124－1k－4k≥124＋2－1R·－4k＝4.当且仅当－1k＝－4k，即k＝－12时，△AOB面积有最小值为4，此时，直线l的方程为y－1＝－12(x－2)，即x＋2y－4＝0.(2)∵A2k－1k，0，B(0,1－2k)(k0)，∴截距之和为2k－1k＋1－2k＝3－2k－1k≥3＋2－2k·－1k＝3＋22.当且仅当－2k＝－1k，即k＝－22时，等号成立．故截距之和最小值为3＋22，此时l的方程为y－1＝－22(x－2)，即2x＋2y－2－22＝0.(3)∵A2k－1k，0，B(0,1－2k)(k0)，∴|PA|·|PB|＝1k2＋1·4＋4k2＝4k2＋4k2＋8≥2·4k2·4k2＋8＝4.当且仅当4k2＝4k2，即k＝－1时上式等号成立，故|PA|·|PB|最小值为4，此时，直线l的方程为x＋y－3＝0.