【新高考复习】课时跟踪检测（六） 函数的性质及其应用 作业

课时跟踪检测（六）函数的性质及其应用1．下列函数为奇函数的是()A．f(x)＝x3＋1B．f(x)＝ln1－x1＋xC．f(x)＝exD．f(x)＝xsinx解析：选B对于A，f(－x)＝－x3＋1≠－f(x)，所以其不是奇函数；对于B，f(－x)＝ln1＋x1－x＝－ln1－x1＋x＝－f(x)，所以其是奇函数；对于C，f(－x)＝e－x≠－f(x)，所以其不是奇函数；对于D，f(－x)＝－xsin(－x)＝xsinx＝f(x)，所以其不是奇函数．故选B.2．已知函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x－1)＜f13的x的取值范围是()A.13，23B.13，23C.12，23D.12，23解析：选D因为函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f(2x－1)＜f13，所以0≤2x－1＜13，解得12≤x＜23.3．(多选)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论正确的是()A．f(x)·g(x)是偶函数B．|f(x)|·g(x)是奇函数C．f(x)·|g(x)|是奇函数D．|f(x)·g(x)|是偶函数解析：选CD∵f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，∴f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)．对于A，f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)，函数是奇函数，故A错误．对于B，|f(－x)|·g(－x)＝|f(x)|·g(x)，函数是偶函数，故B错误．对于C，f(－x)·|g(－x)|＝－f(x)·|g(x)|，函数是奇函数，故C正确．对于D，|f(－x)·g(－x)|＝|f(x)·g(x)|，函数是偶函数，故D正确．4．已知函数f(x)＝x3，x≤0，lnx＋1，x0，若f(2－x2)f(x)，则实数x的取值范围是()A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C．(－1,2)D．(－2,1)解析：选D因为当x＝0时，两个表达式对应的函数值都为零，所以函数的图象是一条连续的曲线．因为当x≤0时，函数f(x)＝x3为增函数，当x0时，f(x)＝ln(x＋1)也是增函数，所以函数f(x)是定义在R上的增函数．因此，不等式f(2－x2)f(x)等价于2－x2x，即x2＋x－20，解得－2x1.5．若函数f(x)＝2|x－a|＋3在区间[1，＋∞)上不单调，则a的取值范围是()A．[1，＋∞)B．(1，＋∞)C．(－∞，1)D．(－∞，1]解析：选Bf(x)＝2|x－a|＋3＝2x－2a＋3，x≥a，－2x＋2a＋3，xa.因为函数f(x)＝2|x－a|＋3在区间[1，＋∞)上不单调，所以a1.所以a的取值范围是(1，＋∞)．6．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则()A．f(－25)f(11)f(80)B．f(80)f(11)f(－25)C．f(11)f(80)f(－25)D．f(－25)f(80)f(11)解析：选D因为奇函数f(x)在区间[0,2]上是增函数，所以f(x)在区间[－2,0]上是增函数．又因为函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－8)＝－f(x－4)＝f(x)，所以函数f(x)为周期函数，且周期为8，因此f(－25)＝f(－1)f(0)＝f(80)f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)．故选D.7．已知函数f(x)＝2020x＋log2020(x2＋1＋x)－2020－x＋3，则关于x的不等式f(1－2x)＋f(x)6的解集为()A．(－∞，1)B．(1，＋∞)C．(－∞，2)D．(2，＋∞)解析：选A∵函数y1＝2020x－2020－x为奇函数，函数y2＝log2020(1＋x2＋x)为奇函数，∴函数g(x)＝2020x－2020－x＋log2020(x2＋1＋x)为奇函数且在R上单调递增，∴f(1－2x)＋f(x)6，即g(1－2x)＋3＋g(x)＋36，即g(x)g(2x－1)，∴x2x－1，∴x1，∴不等式f(1－2x)＋f(x)6的解集为(－∞，1)．8．如果奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(2)＝0，则不等式fx－f－xx0的解集为()A．(－2,0)∪(2，＋∞)B．(－∞，－2)∪(0,2)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D．(－2,0)∪(0,2)解析：选D由函数f(x)为奇函数可知f(－x)＝－f(x)，因此fx－f－xx0可化为不等式2fxx0，故有x0，fx0或x0，fx0.再由f(2)＝0，可得f(－2)＝0，由函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，可得函数f(x)在(－∞，0)上也为增函数，结合函数f(x)的单调性，作出示意图可得，所求不等式的解集为{x|－2x0或0x2}．9．(多选)下列关于函数f(x)＝x2－x4|x－1|－1的性质描述正确的是()A．f(x)的定义域为[)－1，0∪(]0，1B．f(x)的值域为(－1,1)C．f(x)在定义域上是增函数D．f(x)的图象关于原点对称解析：选ABD由x2－x4≥0，|x－1|－1≠0，得－1≤x≤1且x≠0，此时f(x)＝x2－x4－x－1－1＝x2－x4－x＝|x|1－x2－x，因此A正确；当0＜x≤1时，f(x)＝－1－x2∈(]－1，0，当－1≤x0时，f(x)＝1－x2∈[)0，1，故f(x)的值域为(－1,1)，B正确；易知f(x)在定义域上不是增函数，选项C错误；又f(－x)＝|－x|1－－x2－－x＝|x|1－x2x＝－f(x)，则f(x)是奇函数，其图象关于原点对称，D正确，故选A、B、D.10．(2021·唐山模拟)设函数f(x)＝1，x0，0，x＝0，－1，x0，g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的单调递减区间是________．解析：由题意知g(x)＝x2，x1，0，x＝1，－x2，x1.函数图象如图所示，其单调递减区间是[0,1)．答案：[0,1)11．若f(x)＝3a－1x＋4a，x1，－ax，x≥1是定义在R上的减函数，则a的取值范围是________．解析：由题意知，3a－10，3a－1×1＋4a≥－a，a0，解得a13，a≥18，a0，所以a∈18，13.答案：18，1312．已知f(x)＝xx－a(x≠a)．(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)上单调递增；(2)若a0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围．解：(1)证明：设x1x2－2，则f(x1)－f(x2)＝x1x1＋2－x2x2＋2＝2x1－x2x1＋2x2＋2.因为(x1＋2)(x2＋2)0，x1－x20，所以f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以f(x)在(－∞，－2)上单调递增．(2)设1x1x2，则f(x1)－f(x2)＝x1x1－a－x2x2－a＝ax2－x1x1－ax2－a.因为a0，x2－x10，所以要使f(x1)－f(x2)0，只需(x1－a)(x2－a)0恒成立，所以a≤1.故a的取值范围为(0,1]．13．已知函数f(x)＝x2＋a|x－2|－4.(1)当a＝2时，求f(x)在[0,3]上的最大值和最小值；(2)若f(x)在区间[－1，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围．解：(1)当a＝2时，f(x)＝x2＋2|x－2|－4＝x2＋2x－8，x≥2，x2－2x，x2＝x＋12－9，x≥2，x－12－1，x2，当x∈[0,2)时，－1≤f(x)0；当x∈[2,3]时，0≤f(x)≤7，所以f(x)在[0,3]上的最大值为7，最小值为－1.(2)因为f(x)＝x2＋ax－2a－4，x2，x2－ax＋2a－4，x≤2，又f(x)在区间[－1，＋∞)上单调递增，所以当x2时，f(x)单调递增，则－a2≤2，即a≥－4；当－1x≤2时，f(x)单调递增，则a2≤－1，即a≤－2，且4＋2a－2a－4≥4－2a＋2a－4恒成立，故a的取值范围为[－4，－2]．14．(2021·河北名校联考)设函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，F(x)＝fx，x0，－fx，x0.(1)若f(－1)＝0，且对任意实数x均有f(x)≥0成立，求F(x)的解析式；(2)在(1)的条件下，当x∈[－2,2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求实数k的取值范围．解：(1)∵f(－1)＝0，∴b＝a＋1.由f(x)≥0恒成立，知a0且方程ax2＋bx＋1＝0中Δ＝b2－4a＝(a＋1)2－4a＝(a－1)2≤0，∴a＝1.从而b＝2，f(x)＝x2＋2x＋1.∴F(x)＝x＋12，x0，－x＋12，x0.(2)由(1)可知f(x)＝x2＋2x＋1，∴g(x)＝f(x)－kx＝x2＋(2－k)x＋1，由g(x)在[－2,2]上是单调函数，知－2－k2≤－2或－2－k2≥2，得k≤－2或k≥6.即实数k的取值范围为(－∞，－2]∪[6，＋∞)．