第2部分 专题5 第1讲　直线与圆 课件（共33张PPT）

专题五解析几何第1讲直线与圆第二部分核心专题师生共研考点1直线的方程及应用01高考串讲·找规律考题变迁·提素养1．(2020·全国卷Ⅲ)点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为()A．1B．2C．3D．2B[法一：由点到直线的距离公式知点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)的距离d＝|k·0－－1＋k|k2＋1＝|k＋1|k2＋1＝k2＋2k＋1k2＋1＝1＋2kk2＋1.当k＝0时，d＝1；当k≠0时，d＝1＋2kk2＋1＝1＋2k＋1k，要使d最大，需k＞0且k＋1k最小，∴当k＝1时，dmax＝2，故选B．法二：记点A(0，－1)，直线y＝k(x＋1)恒过点B(－1,0)，当AB垂直于直线y＝k(x＋1)时，点A(0，－1)到直线y＝k(x＋1)的距离最大，且最大值为|AB|＝2，故选B．]2．(2021·全国卷乙)双曲线x24－y25＝1的右焦点到直线x＋2y－8＝0的距离为________．5[由双曲线的性质知c2＝a2＋b2＝4＋5＝9，则c＝3，双曲线右焦点的坐标为(3,0)，所以双曲线的右焦点到直线x＋2y－8＝0的距离d＝|3－8|12＋22＝5.]命题规律：考查重点是直线间的平行和垂直的应用、与距离、最值有关的问题，此类问题难度属于中低档，一般以选择题、填空题的形式出现．通性通法：求直线方程的方法求直线方程主要有直接法和待定系数法．直接法是选择适当的形式，直接求出直线方程．待定系数法通常先由条件建立含参数的方程，再将条件代入求参数，即可得到直线方程．提醒：求直线方程时应根据条件选择合适的方程形式利用待定系数法求解，同时要验证与x、y轴垂直的特殊情况．1．[与充分必要条件交汇]已知直线l1：x＋(m＋1)y＋m＝0，l2：mx＋2y＋1＝0，则“l1∥l2”的必要不充分条件是()A．m＝－2B．m＝1C．m＝－2或m＝1D．m＝2或m＝1C[∵直线l1：x＋(m＋1)y＋m＝0，l2：mx＋2y＋1＝0，若l1∥l2，则m(m＋1)－2＝0，解得m＝－2或m＝1；当m＝1时，l1与l2重合，故“l1∥l2”⇔“m＝－2”，故“l1∥l2”的必要不充分条件是“m＝－2或m＝1”，故选C．]2．[与物理学交汇]在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，点P是边上异于A，B的一点．光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P(如图)．若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于()A．2B．1C．83D．43D[以A为原点，AB为x轴，AC为y轴建立直角坐标系如图所示．则A(0,0)，B(4,0)，C(0,4)．设△ABC的重心为D，则D点坐标为43，43，设P点坐标为(m,0)，则P点关于y轴对称点P1为(－m,0)，因为直线BC方程为x＋y－4＝0，所以P点关于BC的对称点P2为(4,4－m)，根据光线反射原理，P1，P2均在QR所在直线上，∴kP1D＝kP2D，即4343＋m＝43－4＋m43－4，解得m＝43或m＝0.当m＝0时，P点与A点重合，故舍去．∴m＝43.故选D．]3．[与不等式交汇]已知直线l1：kx－y＋4＝0与直线l2：x＋ky－3＝0(k≠0)分别过定点A，B，又l1，l2相交于点M，则|MA|·|MB|的最大值为________．252[由题意可知，直线l1：kx－y＋4＝0经过定点A(0,4)，直线l2：x＋ky－3＝0经过定点B(3,0)．易知直线l1：kx－y＋4＝0和直线l2：x＋ky－3＝0始终垂直，又M是两条直线的交点，所以MA⊥MB，所以|MA|2＋|MB|2＝|AB|2＝25，故|MA|·|MB|≤252当且仅当|MA|＝|MB|＝522时取“＝”.]考点2圆的方程及应用02高考串讲·找规律考题变迁·提素养1．(2020·全国卷Ⅱ)若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x－y－3＝0的距离为()A．55B．255C．355D．455B[因为圆与两坐标轴都相切，点(2,1)在该圆上，所以可设该圆的方程为(x－a)2＋(y－a)2＝a2(a0)，所以(2－a)2＋(1－a)2＝a2，即a2－6a＋5＝0，解得a＝1或a＝5，所以圆心的坐标为(1,1)或(5,5)，所以圆心到直线2x－y－3＝0的距离为|2×1－1－3|22＋－12＝255或|2×5－5－3|22＋－12＝255，故选B．]2．(2018·天津高考)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为________.x2＋y2－2x＝0[法一：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.∵圆经过点(0,0)，(1,1)，(2,0)，∴F＝0，2＋D＋E＋F＝0，4＋2D＋F＝0.解得D＝－2，E＝0，F＝0.∴圆的方程为x2＋y2－2x＝0.法二：画出示意图如图所示，则△OAB为等腰直角三角形，故所求圆的圆心为(1,0)，半径为1，∴所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2－2x＝0.]命题规律：圆的方程求法以待定系数法为主，主要考查方程思想及数学运算的能力，属于中档题目．通性通法：解决圆的方程问题一般有两种方法(1)几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程．(2)代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．1．[以阿波罗尼圆为载体]古希腊数学家阿波罗尼斯在其巨著《圆锥曲线论》中提出“在同一平面上给出三点，若其中一点到另外两点的距离之比是一个大于零且不等于1的常数，则该点轨迹是一个圆”．现在，某电信公司要在甲、乙、丙三地搭建三座5G信号塔来构建一个特定的三角形信号覆盖区域，以实现5G商用，已知甲、乙两地相距4km，丙、甲两地距离是丙、乙两地距离的3倍，则这个三角形信号覆盖区域的最大面积(单位：km2)是()A．23B．43C．36D．46B[以甲、乙两地所在直线为x轴，线段甲乙的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系(图略)，设甲、乙两地的坐标分别为(－2,0)，(2,0)，丙地坐标为(x，y)(y≠0)，则x＋22＋y2＝3·x－22＋y2，整理得(x－4)2＋y2＝12，可知丙地所在的圆的半径为r＝23.所以三角形信号覆盖区域的最大面积为12×4×23＝43.]2．[与圆锥曲线交汇]已知A，B分别是双曲线C：x2m－y22＝1的左、右顶点，P(3,4)为C上一点，则△PAB的外接圆的标准方程为________．x2＋(y－3)2＝10[∵P(3,4)为C上一点，∴9m－162＝1，解得m＝1，则B(1,0)，∴kPB＝42＝2，PB的中点坐标为(2,2)，PB的中垂线方程为y＝－12(x－2)＋2，令x＝0，则y＝3，设外接圆圆心为M(0，t)，则M(0,3)，r＝|MB|＝1＋32＝10，∴△PAB外接圆的标准方程为x2＋(y－3)2＝10.]3．[由圆的一般方程求参数(或范围)](2021·珠海一模)若方程x2＋y2＋λxy＋2kx＋4y＋5k＋λ＝0表示圆，则k的取值范围为___________．(－∞，1)∪(4，＋∞)[根据题意，若方程x2＋y2＋λxy＋2kx＋4y＋5k＋λ＝0表示圆，则λ＝0，方程为x2＋y2＋2kx＋4y＋5k＝0，即(x＋k)2＋(y＋2)2＝k2－5k＋4，必有k2－5k＋4＞0，解得k＜1或k＞4，即k的取值范围为(－∞，1)∪(4，＋∞)．]考点3直线与圆的位置关系03高考串讲·找规律考题变迁·提素养1．(2021·新高考卷Ⅰ改编)已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4,0)，B(0,2)，则下列结论成立的是()①点P到直线AB的距离小于10；②点P到直线AB的距离大于2；③当∠PBA最小时，|PB|＝32；④当∠PBA最大时，|PB|＝32.A．①②B．②③C．②③④D．①③④D[设圆(x－5)2＋(y－5)2＝16的圆心为M(5,5)，由题易知直线AB的方程为x4＋y2＝1，即x＋2y－4＝0，则圆心M到直线AB的距离d＝|5＋2×5－4|5＝115＞4，所以直线AB与圆M相离，所以点P到直线AB的距离的最大值为4＋d＝4＋115，4＋115＜5＋1255＝10，故①正确．易知点P到直线AB的距离的最小值为d－4＝115－4，115－4＜1255－4＝1，故②不正确．过点B作圆M的两条切线，切点分别为N，Q，如图所示，连接MB，MN，MQ，则当∠PBA最小时，点P与N重合，|PB|＝|MB|2－|MN|2＝52＋5－22－42＝32，当∠PBA最大时，点P与Q重合，|PB|＝32，故③④都正确．综上，选D．]2．(2020·全国卷Ⅰ)已知⊙M：x2＋y2－2x－2y－2＝0，直线l：2x＋y＋2＝0，P为l上的动点．过点P作⊙M的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM|·|AB|最小时，直线AB的方程为()A．2x－y－1＝0B．2x＋y－1＝0C．2x－y＋1＝0D．2x＋y＋1＝0D[法一：由⊙M：x2＋y2－2x－2y－2＝0①，得⊙M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，所以圆心M(1,1)．如图，连接AM，BM，易知四边形PAMB的面积为12|PM|·|AB|，欲使|PM|·|AB|最小，只需四边形PAMB的面积最小，即只需△PAM的面积最小．因为|AM|＝2，所以只需|PA|最小．又|PA|＝|PM|2－|AM|2＝|PM|2－4，所以只需直线2x＋y＋2＝0上的动点P到M的距离最小，其最小值为|2＋1＋2|5＝5，此时PM⊥l，易求出直线PM的方程为x－2y＋1＝0.由2x＋y＋2＝0，x－2y＋1＝0，得x＝－1，y＝0，所以P(－1,0)．易知P，A，M，B四点共圆，所以以PM为直径的圆的方程为x2＋y－122＝522，即x2＋y2－y－1＝0②，由①②得，直线AB的方程为2x＋y＋1＝0，故选D．法二：因为⊙M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，所以圆心M(1,1)．连接AM，BM，易知四边形PAMB的面积为12|PM|·|AB|，欲使|PM|·|AB|最小，只需四边形PAMB的面积最小，即只需△PAM的面积最小．因为|AM|＝2，所以只需|PA|最小．又|PA|＝|PM|2－|AM|2＝|PM|2－4，所以只需|PM|最小，此时PM⊥l.因为PM⊥AB，所以l∥AB，所以kAB＝－2，排除A，C．易求出直线PM的方程为x－2y＋1＝0，由2x＋y＋2＝0，x－2y＋1＝0，得x＝－1，y＝0，所以P(－1,0)．因为点M到直线x＝－1的距离为2，所以直线x＝－1过点P且与⊙M相切，所以A(－1,1)．因为点A(－1,1)在直线AB上，故排除B．故选D．]3．(2020·天津高考)已知直线x－3y＋8＝0和圆x2＋y2＝r2(r＞0)相交于A，B两点．若|AB|＝6，则r的值为________．5[依题意得，圆心(0,0)到直线x－3y＋8＝0的距离d＝|8|12＋－32＝4，因此r2＝d2＋|AB|22＝25，又r＞0，所以r＝5.]命题规律：以直线与圆的位置关系为切入点，结合圆的几何性质，勾股定理及距离等相关知识考查数形结合及数学运算能力．一般以选择题、填空题的形式出现，知识相对综合，有一定的区分度．通性通法：解决直线与圆的位置关系问题应关注3点(1)处理直线与圆的位置关系问题时，主要利用几何法，即利用圆心到直线的距离与半径的大小关系判断，并依据相关几何性质求解．(2)弦长问题，主要依据弦长的一半、弦心距、半径之间的关系求解．(3)过圆内一点且垂直于过这点的半径的弦最短．1．[直线与圆的关系](2021·广东二模)设直线l：y＝kx＋1(k∈R)与圆C：x2＋y2＝5，则下列结论正确的为()A．l与C可能相离B．l可能将C的周长平分C．当k＝1时，l被C截得的弦长为322D．l被C截得的最短弦长为4D[对于A选项，直线l过定点(0,1)，且点(0,1)在圆C内