【新高考复习】2 第2讲　排列与组合　新题培优练

[基础题组练]1．从1，3，5中取两个数，从2，4中取一个数，可以组成没有重复数字的三位数，则在这些三位数中，奇数的个数为()A．12B．18C．24D．36解析：选C.从1，3，5中取两个数有C23种方法，从2，4中取一个数有C12种方法，而奇数只能从1，3，5取出的两个数之一作为个位数，故奇数的个数为C23C12A12A22＝3×2×2×2×1＝24.2．某市委从组织机关10名科员中选3人担任驻村第一书记，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为()A．85B．56C．49D．28解析：选C.由于丙不入选，相当于从9人中选派3人．甲、乙两人均入选，有C22C17种选法，甲、乙两人只有1人入选，有C12C27种选法．所以由分类加法计数原理，共有C22C17＋C12C27＝49种不同选法．3．(2019·山西太原联考)高三要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求2个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是()A．1800B．3600C．4320D．5040解析：选B.先排出舞蹈节目以外的5个节目，共A55种排法，再把2个舞蹈节目插在6个空位中，有A26种插法，所以共有A55A26＝3600(种)．4．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有()A．192种B．216种C．240种D．288种解析：选B.第一类：甲在最左端，有A55＝5×4×3×2×1＝120种方法；第二类：乙在最左端，有4A44＝4×4×3×2×1＝96种方法．所以共有120＋96＝216种方法．5．如图，∠MON的边OM上有四点A1，A2，A3，A4，ON上有三点B1，B2，B3，则以O，A1，A2，A3，A4，B1，B2，B3中三点为顶点的三角形的个数为()A．30B．42C．54D．56解析：选B.间接法：先从这8个点中任取3个点，有C38种取法，再减去三点共线的情形即可，即C38－C35－C34＝42.6．(2019·惠州第二次调研)旅游体验师小明受某网站邀请，决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游，若不能最先去甲景区旅游，不能最后去乙景区和丁景区旅游，则小李可选的旅游路线数为()A．24B．18C．16D．10解析：选D.分两种情况，第一种：最后体验甲景区，则有A33种可选的路线；第二种：不在最后体验甲景区，则有C12·A22种可选的路线．所以小李可选的旅游路线数为A33＋C12·A22＝10.选D.7．(2019·广州调研)某学校获得5个高校自主招生推荐名额，其中甲大学2个，乙大学2个，丙大学1个，并且甲大学和乙大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有()A．36种B．24种C．22种D．20种解析：选B.根据题意，分两种情况讨论：第一种，3名男生每个大学各推荐1人，2名女生分别推荐给甲大学和乙大学，共有A33A22＝12种推荐方法；第二种，将3名男生分成两组分别推荐给甲大学和乙大学，共有C23A22A22＝12种推荐方法．故共有24种推荐方法，故选B.8．(2019·沈阳教学质量监测(一))若4个人按原来站的位置重新站成一排，恰有1个人站在自己原来的位置，则不同的站法共有()A．4种B．8种C．12种D．24种解析：选B.将4个人重排，恰有1个人站在自己原来的位置，有C14种站法，剩下3人不站原来位置有2种站法，所以共有C14×2＝8种站法，故选B.9．(2019·南昌调研)某校毕业典礼上有6个节目，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起．则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有()A．120种B．156种C．188种D．240种解析：选A.法一：记演出顺序为1～6号，对丙、丁的排序进行分类，丙、丁占1和2号，2和3号，3和4号，4和5号，5和6号，其排法分别为A22A33，A22A33，C12A22A33，C13A22A33，C13A22A33，故总编排方案有A22A33＋A22A33＋C12A22A33＋C13A22A33＋C13A22A33＝120(种)．法二：记演出顺序为1～6号，按甲的编排进行分类，①当甲在1号位置时，丙、丁相邻的情况有4种，则有C14A22A33＝48种；②当甲在2号位置时，丙、丁相邻的情况有3种，共有C13A22A33＝36种；③当甲在3号位置时，丙、丁相邻的情况有3种，共有C13A22A33＝36种．所以编排方案共有48＋36＋36＝120(种)．10．(2019·石家庄模拟)用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字且大于3000的四位数，这样的四位数有()A．250个B．249个C．48个D．24个解析：选C.①当千位上的数字为4时，满足条件的四位数有A34＝24(个)；②当千位上的数字为3时，满足条件的四位数有A34＝24(个)．由分类加法计数原理得所有满足条件的四位数共有24＋24＝48(个)，故选C.11．(2019·甘肃第二次诊断检测)某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五个人玩抢红包游戏，现有4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢完，4个红包中有2个6元，1个8元，1个10元(红包中金额相同视为相同红包)，则甲、乙都抢到红包的情况有()A．18种B．24种C．36种D．48种解析：选C.若甲、乙抢的是一个6元和一个8元的红包，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有A22A23＝12种；若甲、乙抢的是一个6元和一个10元的红包，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有A22A23＝12种；若甲、乙抢的是一个8元和一个10元的红包，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有A22C23＝6种；若甲、乙抢的是两个6元的红包，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有A23＝6种，根据分类加法计数原理可得，共有36种情况，故选C.12．(2019·福建三明一模)某密码锁共设四个数位，每个数位的数字都可以是1，2，3，4中的任一个．现密码破译者得知；甲所设的四个数字有且仅有三个相同；乙所设的四个数字有两个相同，另两个也相同；丙所设的四个数字有且仅有两个相同；丁所设的四个数字互不相同．则上述四人所设密码最安全的是()A．甲B．乙C．丙D．丁解析：选C.甲所设密码共有C34C14C13＝48种不同设法，乙所设密码共有C24A242！＝36种不同设法，丙所设密码共有C24C14A23＝144种不同设法，丁所设密码共有A44＝24种不同设法，所以丙最安全，故选C.13．若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误写法共有________种．解析：把g、o、o、d4个字母排一列，可分两步进行，第一步：排g和d，共有A24种排法；第二步：排两个o，共1种排法，所以总的排法种数为A24＝12(种)．其中正确的有1种，所以错误的共A24－1＝12－1＝11(种)．答案：1114．(一题多解)(2018·高考全国卷Ⅰ)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种．(用数字填写答案)解析：法一：可分两种情况：第一种情况，只有1位女生入选，不同的选法有C12C24＝12(种)；第二种情况，有2位女生入选，不同的选法有C22C14＝4(种)．根据分类加法计数原理知，至少有1位女生入选的不同的选法有16(种)．法二：从6人中任选3人，不同的选法有C36＝20(种)，从6人中任选3人都是男生，不同的选法有C34＝4(种)，所以至少有1位女生入选的不同的选法有20－4＝16(种)．答案：1615．(一题多解)(2019·洛阳第一次统考)某校有4个社团向高一学生招收新成员，现有3名同学，每人只选报1个社团，恰有2个社团没有同学选报的报法有________种(用数字作答)．解析：法一：第一步，选2名同学报名某个社团，有C23·C14＝12种报法；第二步，从剩余的3个社团里选一个社团安排另一名同学，有C13·C11＝3种报法．由分步乘法计数原理得共有12×3＝36种报法．法二：第一步，将3名同学分成两组，一组1人，一组2人，共C23种方法；第二步，从4个社团里选取2个社团让两组同学分别报名，共A24种方法．由分步乘法计数原理得共有C23·A24＝36种报法．答案：3616．(2019·河南南阳模拟)如图所示2×2方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1，2，3，4中的任何一个，允许重复．若填入A方格的数字大于B方格的数字，则不同的填法共有________种.ABCD解析：根据题意，对于A，B两个方格，可在1，2，3，4中任选2个，大的放进A方格，小的放进B方格，有C24＝6种情况，对于C，D两个方格，每个方格有4种情况，则共有4×4＝16种情况，则不同的填法共有16×6＝96(种)．答案：96[综合题组练]1．现有4种不同品牌的小车各2辆(同一品牌的小车完全相同)，计划将其放在4个车库中(每个车库放2辆)，则恰有2个车库放的是同一品牌的小车的不同放法共有()A．144种B．108种C．72种D．36种解析：选C.从4种小车中选取2种有C24种选法，从4个车库中选取2个车库有C24种选法，然后将这2种小车放入这两个车库共有A22种放法；将剩下的2种小车每1种分开来放，因为同一品牌的小车完全相同，只有1种放法，所以共有C24C24A22＝72种不同的放法．故选C.2．(2019·江西赣州联考)将标号为1，2，3，4，5，6的6个小球放入3个不同的盒子中．若每个盒子放2个，其中标号为1，2的小球放入同一盒子中，则不同的方法共有()A．12种B．16种C．18种D．36种解析：选C.先将标号为1，2的小球放入盒子，有3种情况；再将剩下的4个球平均放入剩下的2个盒子中，共有C24·C222！·A22＝6种情况，所以不同的方法共有3×6＝18(种)．3．(综合型)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有________对．解析：如图．它们的棱是原正方体的12条面对角线．一个正四面体中两条棱成60°角的有(C26－3)对，两个正四面体有(C26－3)×2对．又正方体的面对角线中平行成对，所以共有(C26－3)×2×2＝48(对)．答案：484．数字1，2，3，4，5，6按如图形式随机排列，设第一行的数为N1，其中N2、N3分别表示第二、三行中的最大数，则满足N1N2N3的所有排列的个数是________．解析：(元素优先法)由题意知6必在第三行，安排6有C13种方法，第三行中剩下的两个空位安排数字有A25种方法，在留下的三位数字中，必有一个最大数，把这个最大数安排在第二行，有C12种方法，剩下的两个数字有A22种排法，根据分步乘法计数原理，所有排列的个数是C13A25C12A22＝240.答案：2405．将7个相同的小球放入4个不同的盒子中．(1)不出现空盒时的放入方式共有多少种？(2)可出现空盒时的放入方式共有多少种？解：(1)将7个相同的小球排成一排，在中间形成的6个空当中插入无区别的3个“隔板”将球分成4份，每一种插入隔板的方式对应一种球的放入方式，则共有C36＝20种不同的放入方式．(2)每种放入方式对应于将7个相同的小球与3个相同的“隔板”进行一次排列，即从10个位置中选3个位置安排隔板，故共有C310＝120种放入方式．6．已知10件不同的产品中有4件是次品，现对它们进行测试，直至找出所有的次品为止．(1)若恰在第5次测试才测试到第1件次品，第10次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？(2)若恰在第5次测试后就找出了所有次品，则这样的不同测试方法数是多少？解：(1)先排前4次测试，只能取正品，有A46种不同的测试方法，再从4件次品中选2件排在第5次和第10次的位置上测试，有A24种测试方法，再排余下4件的测试位置，有A44种测试方法．所以共有A46·A24·A44＝103680种不同的测试方法．(2)第5次测试的产品恰为最后一件次品