高中数学导数及其应用知识点

1导数知识点归纳及其应用●知识点归纳一、相关概念1．导数的概念函数y=f(x),如果自变量x在x0处有增量x，那么函数y相应地有增量y=f（x0+x）－f（x0），比值xy叫做函数y=f（x）在x0到x0+x之间的平均变化率，即xy=xxfxxf)()(00。如果当0x时，xy有极限，我们就说函数y=f(x)在点x0处可导，并把这个极限叫做f（x）在点x0处的导数，记作f’（x0）或y’|0xx。即f’（x0）=0limxxy=0limxxxfxxf)()(00。说明：（1）函数f（x）在点x0处可导，是指0x时，xy有极限。如果xy不存在极限，就说函数在点x0处不可导，或说无导数。（2）x是自变量x在x0处的改变量，0x时，而y是函数值的改变量，可以是零。由导数的定义可知，求函数y=f（x）在点x0处的导数的步骤：①求函数的增量y=f（x0+x）－f（x0）；②求平均变化率xy=xxfxxf)()(00；③取极限，得导数f’(x0)=xyx0lim。例：设f(x)=x|x|,则f′(0)=.[解析]：∵0||lim||lim)(lim)0()0(lim0000xxxxxxfxfxfxxxx∴f′(0)=02．导数的几何意义函数y=f（x）在点x0处的导数的几何意义是曲线y=f（x）在点p（x0，f（x0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f（x）在点p（x0，f（x0））处的切线的斜率是f’（x0）。相应地，切线方程为y－y0=f/（x0）（x－x0）。2例：在函数xxy83的图象上，其切线的倾斜角小于4的点中，坐标为整数的点的个数是()A．3B．2C．1D．0[解析]：切线的斜率为832/xyk又切线的倾斜角小于4，即10k故18302x解得：338383xx或故没有坐标为整数的点3.导数的物理意义如果物体运动的规律是s=s（t），那么该物体在时刻t的瞬间速度v=s（t）。如果物体运动的速度随时间的变化的规律是v=v（t），则该物体在时刻t的加速度a=v′（t）。例。汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图像可能是（）答：A。练习：已知质点M按规律322ts做直线运动（位移单位：cm，时间单位：s）。（1）当t=2，01.0t时，求ts；（2）当t=2，001.0t时，求ts；（3）求质点M在t=2时的瞬时速度。答案：（1）8.02scm（2）8.002scm；（3）8scm二、导数的运算1．基本函数的导数公式:①0;C（C为常数）②1;nnxnx③(sin)cosxx;stOA．stOstOstOB．C．D．3④(cos)sinxx;⑤();xxee⑥()lnxxaaa;⑦1lnxx;⑧1lglogaaoxex.例1：下列求导运算正确的是()A．(x+211)1xxB．(log2x)′=2ln1xC．(3x)′=3xlog3eD．(x2cosx)′=-2xsinx例2：设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，则f2005(x)＝()A．sinxB．－sinxC．cosxD．－cosx2．导数的运算法则法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即：(.)'''vuvu法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：.)('''uvvuuv若C为常数,则'''''0)(CuCuCuuCCu.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：.)(''CuCu法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：vu2''vuvvu（v0）。例：设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x＜0时,)()()()(xgxfxgxf＞0.且g(3)=0.则不等式f(x)g(x)＜0的解集是()A．(-3,0)∪(3,+∞)B．(-3,0)∪(0,3)C．(-∞,-3)∪(3,+∞)D．(-∞,-3)∪(0,3)[解析]：∵当x＜0时,)()()()(xgxfxgxf＞0，即0)]()([/xgxf4∴当x＜0时，f(x)g(x)为增函数，又g(x)是偶函数且g(3)=0，∴g(-3)=0，∴f(-3)g(-3)=0故当3x时，f(x)g(x)＜0，又f(x)g(x)是奇函数，当x0时，f(x)g(x)为增函数，且f(3)g(3)=0故当30x时，f(x)g(x)＜0故选D3.复合函数的导数形如y=fx()的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解——求导——回代。法则：y＇|X=y＇|U·u＇|X或者[()]()*()fxfx.练习：求下列各函数的导数：（1）;sin25xxxxy（2）);3)(2)(1(xxxy（3）;4cos212sin2xxy（4）.1111xxy三、导数的应用1.函数的单调性与导数（1）设函数)(xfy在某个区间（a，b）可导，如果'f)(x0，则)(xf在此区间上为增函数；如果'f0)(x，则)(xf在此区间上为减函数。（2）如果在某区间内恒有'f0)(x，则)(xf为常数。例：函数13)(23xxxf是减函数的区间为()A．),2(B．)2,(C．)0,(D．（0，2）2．极点与极值：曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；例：函数,93)(23xaxxxf已知3)(xxf在时取得极值，则a=()A．2B．3C．4D．53．最值：在区间[a，b]上连续的函数f)(x在[a，b]上必有最大值与最小值。但在开区间（a，b）内5连续函数f（x）不一定有最大值，例如3(),(1,1)fxxx。求最值步骤：①求函数ƒ)(x在(a，b)内的极值；②求函数ƒ)(x在区间端点的值ƒ(a)、ƒ(b)；③将函数ƒ)(x的各极值与ƒ(a)、ƒ(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。说明：（1）函数的最大值和最小值是一个整体性的概念，最大值必须是整个区间上所有函数值中的最大值，最小值必须在整个区间上所有函数值中的最小值。（2）函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的，函数的极值是比较极值点附件的函数值得出来的。函数的极值可以有多有少，但最值只有一个，极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值，极值可能成为最值，最值只要不在端点处必定是极值。例：函数13)(3xxxf在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是.●经典例题选讲例1.已知函数)(xfxy的图象如图所示（其中)(xf是函数)(xf的导函数），下面四个图象中)(xfy的图象大致是()例2.设xaxxf3)(恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求其单调区间。例3.已知函数dxbxxxfc)(23的图象过点P（0,2）,且在点M))1(,1(f处的6切线方程为076yx.（Ⅰ）求函数)(xfy的解析式；（Ⅱ）求函数)(xfy的单调区间.例4.设函数32()fxxbxcxxR，已知()()()gxfxfx是奇函数。（Ⅰ）求b、c的值。（Ⅱ）求()gx的单调区间与极值。例5.已知f（x）=cbxaxx23在x=1，x=32时，都取得极值。（1）求a、b的值。（2）若对]2,1[x，都有cxf1)(恒成立，求c的取值范围。例6.已知1x是函数32()3(1)1fxmxmxnx的一个极值点，其中,,0mnRm，（I）求m与n的关系式；（II）求()fx的单调区间；（III）当1,1x时，函数()yfx的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围.例7：（2009天津理20）已知函数22()(23)(),xfxxaxaaexR其中aR（1）当0a时，求曲线()(1,(1))yfxf在点处的切线的斜率；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（2）当23a时，求函数()fx的单调区间与极值。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。满分12分。7参考答案：例1[解析]：由函数)(xfxy的图象可知：当1x时，)(xfx0，)(xf0，此时)(xf增当01x时，)(xfx0，)(xf0，此时)(xf减当10x时，)(xfx0，)(xf0，此时)(xf减当1x时，)(xfx0，)(xf0，此时)(xf增，故选C例2.解：13)(2axxf若0a，0)(xf对),(x恒成立，此时)(xf只有一个单调区间，矛盾若0a，01)(xf∴),(x，)(xf也只有一个单调区间，矛盾若0a∵)||31()||31(3)(axaxaxf，此时)(xf恰有三个单调区间∴0a且单调减区间为)||31,(a和),||31(a，单调增区间为)||31,||31(aa例3.解：（Ⅰ）由)(xf的图象经过P（0，2），知d=2，所以,2)(23cxbxxxf.23)(2cbxxxf由在))1(,1(fM处的切线方程是076yx，知.6)1(,1)1(,07)1(6fff即.3,0,32.121,623cbcbcbcbcb解得即故所求的解析式是.233)(23xxxxf8（Ⅱ）.012,0363.363)(222xxxxxxxf即令解得.21,2121xx当;0)(,21,21xfxx时或当.0)(,2121xfx时故)21,(233)(23在xxxxf内是增函数，在)21,21(内是减函数，在),21(内是增函数.例4.解：（Ⅰ）∵32fxxbxcx，∴232fxxbxc。从而322()()()(32)gxfxfxxbxcxxbxc＝32(3)(2)xbxcbxc是一个奇函数，所以(0)0g得0c，由奇函数定义得3b；（Ⅱ）由（Ⅰ）知3()6gxxx，从而2()36gxx，由此可知，(,2)和(2,)是函数()gx是单调递增区间；(2,2)是函数()gx是单调递减区间；()gx在2x时，取得极大值，极大值为42，()gx在2x时，取得极小值，极小值为42。例5.解：（1）由题意f/（x）=baxx232的两个根分别为1和32由韦达定理，得：132=32a，)32(13b则21a，2b（2）由（1），有f（x）=cxxx22123，f/（x）=232xx当)32,1[x时，0)(/xf，当)1,32(x时，0)(/xf，当]2,1(x时，0)(/xf，当32x时，)(xf有极大值c2722，cfcf2)2(,21)1(，∴当]2,1[x，)(xf的最大值为cf2)2(对]2,1[x，都有cxf1)(恒成立，∴cc12，解得,120c或,12