高中数列知识点、解题方法和题型大全

1一高中数列知识点总结1.等差数列的定义与性质定义：1nnaad（d为常数），11naand等差中项：xAy，，成等差数列2Axy前n项和11122nnaannnSnad性质：na是等差数列（1）若mnpq，则mnpqaaaa；（2）数列12212,,nnnaaa仍为等差数列，232nnnnnSSSSS，，……仍为等差数列，公差为dn2；（3）若三个成等差数列，可设为adaad，，（4）若nnab，是等差数列，且前n项和分别为nnST，，则2121mmmmaSbT（5）na为等差数列2nSanbn（ab，为常数，是关于n的常数项为0的二次函数）nS的最值可求二次函数2nSanbn的最值；或者求出na中的正、负分界项，即：当100ad，，解不等式组100nnaa可得nS达到最大值时的n值.当100ad，，由100nnaa可得nS达到最小值时的n值.(6)项数为偶数n2的等差数列na，有),)(()()(11122212为中间两项nnnnnnnaaaanaanaanS2ndSS奇偶，1nnaaSS偶奇.（7）项数为奇数12n的等差数列na，有)()12(12为中间项nnnaanS，naSS偶奇，1nnSS偶奇.2.等比数列的定义与性质定义：1nnaqa（q为常数，0q），11nnaaq.等比中项：xGy、、成等比数列2Gxy，或Gxy.前n项和：11(1)1(1)1nnnaqSaqqq（要注意！）性质：na是等比数列（1）若mnpq，则mnpqaaaa··（2）232nnnnnSSSSS，，……仍为等比数列,公比为nq.注意：由nS求na时应注意什么？1n时，11aS；2n时，1nnnaSS.3二解题方法1求数列通项公式的常用方法（1）求差（商）法如：数列na，12211125222nnaaan……，求na解1n时，112152a，∴114a①2n时，12121111215222nnaaan……②①—②得：122nna，∴12nna，∴114(1)2(2)nnnan［练习］数列na满足111543nnnSSaa，，求na注意到11nnnaSS，代入得14nnSS；又14S，∴nS是等比数列，4nnS2n时，1134nnnnaSS……·（2）叠乘法如：数列na中，1131nnanaan，，求na解3212112123nnaaanaaan·……·……，∴11naan又13a，∴3nan.（3）等差型递推公式由110()nnaafnaa，，求na，用迭加法42n时，21321(2)(3)()nnaafaafaafn…………两边相加得1(2)(3)()naafffn……∴0(2)(3)()naafffn……（4）等比型递推公式1nnacad（cd、为常数，010ccd，，）可转化为等比数列，设111nnnnaxcaxacacx令(1)cxd，∴1dxc，∴1ndac是首项为11dacc，为公比的等比数列∴1111nnddaaccc·，∴1111nnddaaccc（5）倒数法如：11212nnnaaaa，，求na由已知得：1211122nnnnaaaa，∴11112nnaa∴1na为等差数列，111a，公差为12，∴11111122nnna·，∴21nan(附：公式法、利用1(2)1(1)nnSSnSnna、累加法、累乘法.构造等差或等比1nnapaq或1()nnapafn、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法)52求数列前n项和的常用方法(1)裂项法把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项.如：na是公差为d的等差数列，求111nkkkaa解：由11111110kkkkkkdaaaaddaa·∴11111223111111111111nnkkkkkknnaadaadaaaaaa……11111ndaa［练习］求和：111112123123n…………121nnaSn…………，（2）错位相减法若na为等差数列，nb为等比数列，求数列nnab（差比数列）前n项和，可由nnSqS，求nS，其中q为nb的公比.如：2311234nnSxxxnx……①23412341nnnxSxxxxnxnx·……②①—②2111nnnxSxxxnx……1x时，2111nnnxnxSxx，1x时，11232nnnSn……6（3）倒序相加法把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.121121nnnnnnSaaaaSaaaa…………相加12112nnnnSaaaaaa……［练习］已知22()1xfxx，则111(1)(2)(3)(4)234fffffff由2222222111()111111xxxfxfxxxxx∴原式11111(1)(2)(3)(4)111323422fffffff(附：a.用倒序相加法求数列的前n项和如果一个数列{an}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前n项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。b.用公式法求数列的前n项和对等差数列、等比数列，求前n项和Sn可直接用等差、等比数列的前n项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。c.用裂项相消法求数列的前n项和裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前n项和。d.用错位相减法求数列的前n项和错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。即若在数列{an·bn}中，{an}成等差数列，{bn}成等比数列，在和式的两边同乘以公比，再与原式错位相减整理后即可以求出前n项和。e.用迭加法求数列的前n项和迭加法主要应用于数列{an}满足an+1=an+f(n)，其中f(n)是等差数列或等比数列的条件下，可把这个式子变成an+1-an=f(n)，代入各项，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，经过整理，可求出an，从而求出Sn。7f.用分组求和法求数列的前n项和所谓分组求和法就是对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。g.用构造法求数列的前n项和所谓构造法就是先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项的特征，构造出我们熟知的基本数列的通项的特征形式，从而求出数列的前n项和。)三方法总结及题型大全方法技巧数列求和的常用方法一、直接（或转化）由等差、等比数列的求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.1.等差数列求和公式：dnnnaaanSnn2)1(2)(112、等比数列求和公式：)1(11)1()1(111qqqaaqqaqnaSnnn)1(211nnkSnkn)12)(1(6112nnnkSnkn213)]1(21[nnkSnkn例1设{}na是公比大于1的等比数列，nS为数列{}na的前n项和．已知37S，且123334aaa，，构成等差数列．（1）求数列{}na的等差数列．（2）令31ln12nnban，，，，求数列{}nb的前n项和T．解：（1）由已知得1231327:(3)(4)3.2aaaaaa，解得22a．8设数列{}na的公比为q，由22a，可得1322aaqq，．又37S，可知2227qq，即22520qq，解得12122qq，．由题意得12qq，．11a．故数列{}na的通项为12nna．（2）由于31ln12nnban，，，，由（1）得3312nna3ln23ln2nnbn，又13ln2nnnbb{}nb是等差数列．12nnTbbb1()2(3ln23ln2)23(1)ln2.2nnbbnnn故3(1)ln22nnnT．练习：设Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求1)32()(nnSnSnf的最大值.解：由等差数列求和公式得)1(21nnSn，)2)(1(21nnSn（利用常用公式）∴1)32()(nnSnSnf＝64342nnn＝nn64341＝50)8(12nn5019∴当88n，即n＝8时，501)(maxnf二、错位相减法设数列na的等比数列，数列nb是等差数列，则数列nnba的前n项和nS求解，均可用错位相减法。例2（07高考天津理21）在数列na中，1112(2)2()nnnnaaanN，，其中0．（Ⅰ）求数列na的通项公式；（Ⅱ）求数列na的前n项和nS；（Ⅰ）解：由11(2)2()nnnnaanN，0，可得111221nnnnnnaa，所以2nnna为等差数列，其公差为1，首项为0，故21nnnan，所以数列na的通项公式为(1)2nnnan．（Ⅱ）解：设234123(2)(1)nnnTnn，①345123(2)(1)nnnTnn②当1时，①式减去②式，得212311(1)(1)(1)1nnnnnTnn，21121222(1)(1)(1)1(1)nnnnnnnnT．这时数列na的前n项和21212(1)22(1)nnnnnnS．当1时，(1)2nnnT．这时数列na的前n项和1(1)222nnnnS．例3（07高考全国Ⅱ文21）设{}na是等差数列，{}nb是各项都为正数的等比数列，且10111ab，3521ab，5313ab（Ⅰ）求{}na，{}nb的通项公式；（Ⅱ）求数列nnab的前n项和nS．解：（Ⅰ）设na的公差为d，nb的公比为q，则依题意有0q且4212211413dqdq，，解得2d，2q．所以1(1)21nandn，112nnnbq．（Ⅱ）1212nnnanb