专题18 新定义与阅读理解题（第01期）（解析版）

专题18新定义与阅读理解题1．（2019•湘西州）阅读材料：设a=（x1，y1），b=（x2，y2），如果a∥b，则x1•y2=x2•y1，根据该材料填空，已知a=（4，3），b=（8，m），且a∥b，则m=__________．【答案】6【解析】∵a=（4，3），b=（8，m），且a∥b，∴4m=3×8，∴m=6；故答案为：6．【名师点睛】本题考查新定义，点的坐标；理解阅读材料的内容，转化为所学知识求解是关键．2．（2019•白银）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A=80°，则它的特征值k=__________．【答案】85或14【解析】①当∠A为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：218080=50°，∴特征值k=808505；②当∠A为底角时，顶角的度数为：180°–80°–80°=20°，∴特征值k=208014；综上所述，特征值k为85或14；故答案为85或14．【名师点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键，要注意到本题中，已知∠A的底数，要进行判断是底角或顶角，以免造成答案的遗漏．3．（2019•河北）如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．示例：即4+3=7．则（1）用含x的式子表示m=__________；（2）当y=–2时，n的值为__________．【答案】（1）3x；（2）1．【解析】（1）根据约定的方法可得：m=x+2x=3x；故答案为：3x；（2）根据约定的方法即可得x+2x+2x+3=m+n=y．当y=–2时，5x+3=–2．解得x=–1．∴n=2x+3=–2+3=1．故答案为：1．【名师点睛】本题考查了列代数式和代数式求值，解题的关键是掌握列代数式的约定方法．4．（2019•枣庄）对于实数a、b，定义关于“⊗”的一种运算：a⊗b=2a+b，例如3⊗4=2×3+4=10．（1）求4⊗（–3）的值；（2）若x⊗（–y）=2，（2y）⊗x=–1，求x+y的值．【答案】（1）5；（2）13.【解析】（1）根据题中的新定义得：原式=8–3=5；（2）根据题中的新定义化简得：2241xyxy①②，①+②得：3x+3y=1，则x+y=13．【名师点睛】此题考查了解二元一次方程组，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．5．（2019•济宁）阅读下面的材料：如果函数y=f（x）满足：对于自变量x的取值范围内的任意x1，x2，（1）若x1x2，都有f（x1）f（x2），则称f（x）是增函数；（2）若x1x2，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是减函数．例题：证明函数f（x）=6x（x＞0）是减函数．证明：设0x1x2，f（x1）–f（x2）=212112121266666xxxxxxxxxx．∵0x1x2，∴x2–x1＞0，x1x2＞0．∴21126xxxx＞0．即f（x1）–f（x2）＞0．∴f（x1）＞f（x2），∴函数f（x）═6x（x＞0）是减函数．根据以上材料，解答下面的问题：已知函数f（x）=21x+x（x0），f（–1）=21(1)+（–1）=0，f（–2）=21(2)+（–2）=–74．（1）计算：f（–3）=__________，f（–4）=__________；（2）猜想：函数f（x）=21x+x（x0）是__________函数（填“增”或“减”）；（3）请仿照例题证明你的猜想．【答案】（1）–269，–6316；（2）增；（3）见解析．【解析】（1）∵f（x）=21x+x（x0），∴f（–3）=21(3)–3=–269，f（–4）=21(4)–4=–6316，故答案为：–269，–6316；（2）∵–4–3，f（–4）＞f（–3），∴函数f（x）=21x+x（x0）是增函数，故答案为：增；（3）设x1x20，∵f（x1）–f（x2）=12221211xxxx=（x1–x2）（1–122212xxxx）∵x1x20，∴x1–x20，x1+x20，∴f（x1）–f（x2）0，∴f（x1）f（x2），∴函数f（x）=21x+x（x0）是增函数．【名师点睛】本题考查反比例函数图象上的坐标特征、反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用反比例函数的性质解答．6．（2019•随州）若一个两位数十位、个位上的数字分别为m，n，我们可将这个两位数记为mn，易知mn=10m+n；同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如abc=100a+10b+c．【基础训练】（1）解方程填空：①若2x+3x=45，则x=__________；②若7y–8y=26，则y=__________；③若93t+58t=131t，则t=__________；【能力提升】（2）交换任意一个两位数mn的个位数字与十位数字，可得到一个新数nm，则mn+nm一定能被__________整除，mn–nm一定能被__________整除，mn•nm–mn一定能被__________整除；（请从大于5的整数中选择合适的数填空）【探索发现】（3）北京时间2019年4月10日21时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚．数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位的数字各不相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数（例如若选的数为325，则用532–235=297），再将这个新数按上述方式重新排列，再相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”．①该“卡普雷卡尔黑洞数”为__________；②设任选的三位数为abc（不妨设a＞b＞c），试说明其均可产生该黑洞数．【答案】（1）①2．②4．③7．（2）11；9；10．【解析】（1）①∵mn=10m+n，∴若2x+3x=45，则10×2+x+10x+3=45，∴x=2，故答案为：2．②若7y–8y=26，则10×7+y–（10y+8）=26，解得y=4，故答案为：4．③由abc=100a+10b+c，及四位数的类似公式得若93t+58t=131t，则100t+10×9+3+100×5+10t+8=1000×1+100×3+10t+1，∴100t=700，∴t=7，故答案为：7．（2）∵mn+nm=10m+n+10n+m=11m+11n=11（m+n），∴则mn+nm一定能被11整除，∵mn–nm=10m+n–（10n+m）=9m–9n=9（m–n），∴mn–nm一定能被9整除．∵mn•nm–mn=（10m+n）（10n+m）–mn=100mn+10m2+10n2+mn–mn=10（10mn+m2+n2）∴mn•nm–mn一定能被10整除．故答案为：11；9；10．（3）①若选的数为325，则用532–235=297，以下按照上述规则继续计算，972–279=693，963–369=594，954–459=495，954–459=495，…故答案为：495．②当任选的三位数为abc时，第一次运算后得：100a+10b+c–（100c+10b+a）=99（a–c），结果为99的倍数，由于a＞b＞c，故a≥b+1≥c+2，∴a–c≥2，又9≥a＞c≥0，∴a–c≤9，∴a–c=2，3，4，5，6，7，8，9，∴第一次运算后可能得到：198，297，396，495，594，693，792，891，再让这些数字经过运算，分别可以得到：981–189=792，972–279=693，963–369=594，954–459–495，954–459=495…，故都可以得到该黑洞数495．【名师点睛】本题是较为复杂的新定义试题，题目设置的问题较多，但解答方法大同小异，总体中等难度略大．7．（2019•自贡）阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+…+22017+22018的值，采用以下方法：设S=1+2+22+…+22017+22018①，则2S=2+22+…+22018+22019②，②–①得2S–S=S=22019–1，∴S=1+2+22+…+22017+22018=22019–1.请仿照小明的方法解决以下问题：（1）1+2+22+…+29=__________；（2）3+32+…+310=__________；（3）求1+a+a2+…+an的和（a＞0，n是正整数），请写出计算过程．【答案】（1）210–1；（2）11312；（3）a=1时，S=n+1；a≠1时，S=111naa．【解析】（1）设S=1+2+22+…+29①，则2S=2+22+…+210②，②–①得2S–S=S=210–1，∴S=1+2+22+…+29=210–1；故答案为：210–1；（2）设S=3+3+32+33+34+…+310①，则3S=32+33+34+35+…+311②，②–①得2S=311–1，所以S=11312，即3+32+33+34+…+310=11312；故答案为：11312；（3）设S=1+a+a2+a3+a4+…+an①，则aS=a+a2+a3+a4+…+an+an+1②，②–①得：（a–1）S=an+1–1，a=1时，不能直接除以a–1，此时原式等于n+1；a≠1时，a–1才能做分母，所以S=111naa，即1+a+a2+a3+a4+…+an=111naa.【名师点睛】根据题目给出的信息，提炼解题方法．认真观察、仔细思考，善用联想，利用类比的方法是解决这类问题的方法．8．（2019·江西）特例感知（1）如图1，对于抛物线211yxx，2221yxx，2331yxx，下列结论正确的序号是_________；①抛物线1y，2y，3y都经过点(0,1)C；②抛物线2y，3y的对称轴由抛物线1y的对称轴依次向左平移12个单位得到；③抛物线1y，2y，3y与直线1y的交点中，相邻两点之间的距离相等.形成概念（2）把满足21nyxnx（n为正整数）的抛物线称为“系列平移抛物线”.知识应用在（2）中，如图2.①“系列平移抛物线”的顶点依次为1P，2P，3P，…，nP，用含n的代数式表示顶点nP的坐标，并写出该顶点纵坐标y与横坐标x之间的关系式；②“系列平移抛物线”存在“系列整数点（横、纵坐标均为整数的点）”：1C，2C，3C，…，nC，其横坐标分别为：1k，2k，3k，…，kn（k为正整数），判断相邻两点之间的距离是否都相等，若相等，直接写出相邻两点之间的距离；若不相等，说明理由.③在②中，直线1y分别交“系列平移抛物线”于点1A，2A，3A，…，nA，连接nnCA，11nnCA，判断nnCA，11nnCA是否平行？并说明理由.【答案】（1）①②③（2）①2,124nnnP，21yx．②相邻两点之间的距离相等，相邻两点距离为21k．③不平行，直线nnCA的斜率（比例系数）为kn，与n取值有关(若两直线平行，则斜率会相等).【解析】（1）①当x=0,1231yyy，所以正确；②123,,yyy的对称轴分别是直线112x，21x，332x，所以正确；③123,,yyy与1y交点（除了点C）横坐标分别为–1，–2，–3，所以距离为1，都相等，正确．（2）①2224124nnnyxnxx，所以顶点24,24nnnP，令顶点nP横坐标2nx，纵坐标244ny，22241142nnyx，即：nP顶点满足关系式21yx.②相邻两点之间的距离相等．理由：根据题意得；2,1nCknknk，211,1nCknknkk，∴CnCn–1两点之间的铅直高度=2