09机械振动

1第九章机械振动•物体在平衡位置附近的重复往返运动叫机械振动,振动必然表现为某些物理量的周期变化•广义地说，只要某一物理量在时间上做周期性变化，就存在一种振动；如果某一物理量不仅在时间上做周期性变化，而且在空间上也做周期性变化，那么就存在一种波动•在力学、电磁学、光学、原子物理学中都普遍存在振动和波动现象，虽然本质不同，但对它们的数学描述是完全相同的•简谐振动是最基本、最简单的，各种复杂振动都可以看作若干简谐振动的合成2§9.1简谐振动的动力学特征几点注意和说明⑴所谓回复力或回复力矩，就是迫使物体回到平衡位置的力或力矩⑵所谓平衡位置，就是振动物体所受的力或力矩等于零的位置，一般把坐标原点取在平衡位置⑶简谐振动的两个动力学特征完全等价㈠动力学特征⒈物体在线性回复力或线性回复力矩的作用下运动，回复力的形式f=-kx，回复力矩的形式τ=-cφ02022QdtQd⒉动力学方程为二阶齐次线性常微分方程设Q为振动物体的位移，则方程形式为：3㈡简谐振动实例⒈弹簧振子：忽略各种阻力和弹簧质量的理想模型平衡位置：弹簧原长，选为原点；回复力：f=-kxkmoxf令0,202022xdtxdmk⒉单摆：忽略阻力和摆线质量，摆锤可视为质点，摆角小于5度mgTlo'oθx平衡位置：竖直位置；如当作角振动，选oo'为角坐标θ的参考线；如当作线振动，选o为x轴的坐标原点回复力矩：mglmglsin由转动定理：0,22222lgdtddtdmglml令0,202022dtdlg02022xdtxd0,2222xkxmmkdtxddtxd由牛二定律：40,202022dtdIC令Ixyφ证明：在平衡位置,取为原点omglk所以与水平弹簧振子一样也是简谐振动动力学方程为mkdtxdx2020,022ΔloxFmg⒋不计阻力和弹簧质量，试证明竖直弹簧振子的运动也是简谐振动kxxlkmgf)(回复力：0,2222IcdtddtdcI由转动定理⒊扭摆：忽略各种阻力，忽略弹性杆的质量回复力矩τ=-cφ5§9.2简谐振动的运动学动力学方程的解就是运动学方程02022xdtxd㈠简谐振动的运动学方程)cos(0tAx据常微分方程理论，其解可写为：ω0由振动系统本身决定，α和A由振动的初始条件决定，x可以是线位移，也可以是角位移)cos(),sin(0200022tAtAdtxddtdx解的正确性可进行验证:6㈡描写简谐振动的物理量圆频率ω0：单摆,弹簧振子,扭摆lg0mk0IC0⒊相位用以确定振动状态，或比较振动步调t0)cos()cos()cos(),sin(),cos(020200020000tAtAtAatAvtAxt=0时的相位α叫初相，用以确定振动的初始状态⒈简谐振动的周期性CIkmglT2,2,2频率v：单位时间完成全振动的次数，v=1/T，单位s-1=HzvTT2/2,200或ω0的单位：rad/s])(cos[)cos(),()(00TtAtATtxtx由周期含义⒉振幅A描述位移的变化范围，A=xm，A0周期T：完成一次全振动所需时间7⒋由初始条件确定A和α和求，时，例题：Av,xt),tcos(Ax3101010)10sin(10),10cos(tAdtdxvtAx解：2,4222AA得：②①②①sin,cos000AvAx设t=0时，x=x0，v=v0，代入位移和速度表达式由①②即可求出A和α，注意：A为正值，α要同时满足①②两式，习惯上π≥|α|≥0②即①，sin3,sin10310cos1AAA代入初始条件：32321,sin,cos将A=2代入①,②得：)sin(),cos(000tAvtAx8㈢简谐振动的矢量表示法Axαω0)cos(),cos(20221011tAxtAx简谐振动可用以旋转矢量来表示，在任意时刻t，它在x轴上的投影就是简谐振动的位移A)cos(0tAxA1A2x2,1,0,22121nn⑴若则相位相同2,1,0,)12(21nn⑵若则相位相反⑶一般即超前或落后的角度不大于π||0,21A1A2xA1A2x比较如下两个振动的步调：9㈣简谐振动的相平面表示和x-t图像•相平面表示：)sin(),cos(000tAvtAx1)(20222AvAxAω0Axv•画的x-t图像：)5cos(2.03tx)(5cos2.0151tx151'tt令据余弦函数曲线的特点和周期156525220T以秒为时间单位，先画的图像，然后将x轴向左平移即可'5cos2.0tx151151xt(1/15)01234567810§9.3简谐振动的能量㈠简谐振动的动能、势能和总能•在简谐振动中只有保守内力做功，因此，动能和势能互相转换，总机械能保持不变。•以弹簧振子为例：)t(sinkA)t(sinAmmvEk022210222021221mk),tsin(Av),tcos(Ax20000)t(cosAm)t(coskAkxEp022202102221221CAmkAEEEpk2202122111例题：将水平弹簧振子从平衡位置拉开4.0×10-2m后释放，水平拉力为24N，求：⑴总机械能；⑵x=A/2时的动能和势能解：⑴由题意12100.4242106,100.42NmkmAJkAE48.0)100.4(10622221221JkxExpA12.0)100.2(106222212212时，⑵JEEEpk36.012.048.0oxF12㈡用能量守恒定律求简谐振动运动学方程)()(,)(222221221221xAkAkxmmkdtdxdtdxdtdtxAmkxAdxmkxAdxmkdtdx2222,,22)'sin(,'arcsinttmkAxmkAx)cos()sin(020tAtAx20',mk取正号，令以弹簧振子为例：13㈢弹簧质量对固有频率的影响lmsoxmdlL已知弹簧原长L，质量ms，劲度系数k，振子质量m，设弹簧质量及形变沿x轴均匀分布，在距固定端l处取一线元dl，振子位移为x时，dl相对固定端的位移为，速度为，动能为xLlxLl221)()('xdldELlLmkS整个弹簧的动能：221232102221')('3xmxdllxESSmLLmk其中，，称为弹簧的等效质量3/'Smm221)'(xmmEk整个振动系统的动能：3/'0SmmkmmkMk水平弹簧振子的总质量相当于M=m+m',所以振子的固有频率为：14§9.4简谐振动的合成)tcos(Ax),tcos(Ax20221011)tcos(Ax0合振动：)cos(2)](cos[21221222112212221AAAAAAAAA㈠同方向、同频率简谐振动的合成αA1A2Axα1α2||2,1,0,)12(2112AAAnn，21122,1,0,2AAAnn，两种特殊情况：振动与其它运动形式一样也可以进行合成与分解，如琴弦的振动是由若干种频率的简谐振动合成的，我们研究几种基本而重要的简谐振动的合成22112211cosAcosAsinAsinAtgA1A2AxA1A2Ax15㈡同方向、不同频率简谐振动的合成,tcosAx,tcosAx2211tcosAtcosAx21nmTTvv122121⒈m,n为整数，m≠n用x-t图像合成最方便如：T1=2s,T2=3sx1t2sx2t3sxt6s结论：合振动不是简谐振动，但有周期性，合振动周期为两个分振动周期的最小公倍数16tx1221212vvv拍拍，合振幅做周期性变化的现象叫拍，合振幅大小每变化一个周期叫1拍，单位时间内拍出现的次数叫拍频ttAttAxxx2212121212coscos2)cos(cos1212⒉两个分振动频率很高,又非常接近,即可视为振幅做周期性缓慢变化的准简谐振动，又称调幅振动17㈢方向垂直、同频率简谐振动的合成xy)cos(),cos(202101tAytAx将两个式子展开，消去参数t,可得质点运动的轨迹方程（具体展开见教材）：①)(sin)cos(21221221222212AyAxAyAx在一般情况下，为一椭圆方程，椭圆的形状、大小，长、短轴方位，由振幅和相位差决定18①)(sin)cos(21221221222212AyAxAyAxxyAA12012，由①可得：⒈)cos(10222122tAAyxr)cos(10222122tAAyxrxyrrxyxyxy)cos(),cos(202101tAytAx1,222221212AyAx由①可得：⒋1,222221212AyAx由①可得：⒊xyAA1212，由①可得：⒉讨论几种特殊情况19㈣方向垂直、不同频率简谐振动的合成•若分振动频率不成整数比，则合运动轨迹不能形成稳定的封闭曲线，质点运动不具有周期性•若分振动频率成整数比，则合运动轨迹为一稳定的封闭曲线，质点运动具有周期性，轨迹图形称为利萨如图形，教材图-9.17给出了几种利萨如图形•图形的花样与振幅、初相、频率比有关20用作图法画利萨如图形T1:T2=1:2A1:A2=3:2α1=-π/2α2=π/2A1A2xyα1α2123456781234567821因受阻力作用振幅不断减小的振动叫阻尼振动把弹簧振子放在水、甘油、沥青中，振子所做的振动就是三种不同的阻尼振动㈠阻尼振动的动力学方程xkxF回复力：02222x,kxmmkdtdxmdtxddtdxdtxd由牛二定律：称为阻尼因数令,,mmk220022022xdtdxdtxd动力学方程:§9.6阻尼振动显然，为二阶齐次线性常微分方程，根据微分方程理论，其解（即运动学方程）按β大小有三种情况dtdxvf阻力：阻力系数γ与物体形状、媒质有关22振幅按指数规律衰减的振动，不是周期运动,是往复运动㈡阻尼振动的运动学特征水中）（欠阻尼状态，如放在⒈0xtβ越大,振幅衰减越快,相隔一周期振幅比的对数，叫做对数减缩tAeA''ln)'(TAeAeDTtt沥青中）（过阻尼状态，如放在⒉0tteCeCx)(2)(1202202xtβω0无往复性,经较长时间单调返回平衡位置在甘油中）如放（临界阻尼状态⒊,0tetCCx)(21无往复性，能很快地返回平衡位置0220'),'cos(tAextTT022022'2'β=ω023§9.7受迫振动㈠受拍振动的动力学方程kxFdtdxftFFcos'0据牛顿第二定律：txtFkxmmFmkdtdxmdtxddtdxdtxdcos,cos022220mFmmkf