(经济博弈论两人讨价还价问题探讨

合作博弈讨价还价问题探讨小组成员：崔清德周建栋郭思尼合作博弈•一般地，我们将允许存在有约束力协议的博弈称为“合作博弈”•合作博弈亦称为正和博弈，是指博弈双方的利益都有所增加，或者至少是一方的利益增加，而另一方的利益不受损害，因而整个社会的利益有所增加的。合作博弈与非合作博弈的区别•非合作博弈与合作博弈的根本区别，是前者不考虑博弈方之间可以运用有约束力协议的情况，而后者则允许这种协议的存在。•合作博弈是研究人们达成合作时如何分配合作得到的收益，即收益分配问题。而非合作博弈是研究人们在利益相互影响的局势中如何选决策使自己的收益最大，即策略选择问题。•非合作博弈排斥有约束力的协议，就把分析对象限制在个体理性基础上的个体决策上，个体理性决策是经济主体最基本的行为逻辑，个体理性决策相对于联合理性基础上的合作行为而言比较简单，因而非合作博弈分析不仅有很强的现实基础，而且比较容易分析和标准化。为什么需要合作博弈理论•个体理性并不是人类经济行为背后的唯一逻辑，其中联合理性的集体决策行为也相当普遍。非合作博弈理论虽然非常有效，但它无法分析现实中普遍存在的联合理性行为。•合作博弈理论的发展也是非合作博弈理论本身的要求。非合作博弈分析经常会遇到无帕累托优劣关系的多重纳什均衡问题。例如两个人分100元，作为非合作博弈，两博弈方策略就是各自所要求的数额0≤si≤100,双方的策略组合（s1，s2）满足s1+s2≤100,他们得益与策略相等，否则得益为0。所有满足0≤si≤100且s1+s2=100的（s1，s2）都是纳什均衡。•非合作博弈之所以无法解决上述问题，就在于忽视了博弈双方之间可能的联合理性行为。如果博弈方可能采用联合理性行为，就能发现通过博弈方的协调行为（协调方法正是本章要讨论的），完全可以解决这个非合作博弈理论无法解决的多重纳什均衡问题。合作博弈理论的特征和结构•“协议”产生的本质原因博弈方之间既存在共同利益但利益又不完全一致。如果博弈方之间的利益完全对立或完全一致，就不能产生这样一个“协议”。如果博弈方之间利益完全对立或完全一致，就没有协调的余地或不需要协调。“协议”的内容•约定行为•利益分配关于利益分配的讨价还价（bargain），是合作博弈的共同特征。“协议”达成的前提•通过讨价还价对利益分割达成一致不管合作博弈问题来源于经济交易，合作还是竞争，也不管人数多少，合作博弈问题本质上都是关于利益分割的讨价还价。举例说明•用合作博弈的思想分析两人分100元现金的问题，可以考虑博弈方用协议协调双方的可能性。但签订协议的前提是双方对分配的方案达成共识，而这种共识是通过讨价还价形成，因此两人分100元现金的合作博弈是关于利益分配的讨价还价问题。•市场交易也是利益分配的讨价还价问题。设两人对某个物品进行交易，如果卖方的主观价值评价是50元，买方的主观价值评价是80元，两人交易能够实现总共80-50=30的交易利益，也就是消费者剩余和生产者剩余之和。双方对交易价格的讨价还价，实际上就是对30元交易利益分配的讨价还价。博弈方数量的增加也不会改变合作博弈的这种本质特征。合作博弈的研究对象•两人讨价还价博弈纯粹讨价还价的两人合作博弈，博弈方选择只有合作或不合作，以那个方案合作。如:两个人分100元的问题•联盟博弈多人合作博弈，博弈方之间可以联盟,三人分300元，分配方案按民主表决（少数服从多数）通过。博弈方1和博弈方2可以结成联盟，强行通过剥夺博弈方3的利益并对他们两人有利的分配方案。当然博弈方3也可以通过分化瓦解博弈方1和2的联盟，并与其中一方形成联盟加以对抗等等。两人讨价还价问题两人讨价还价是合作博弈理论的基本问题，也是博弈论最早研究的问题，两人讨价还价实质上都是两个经济主体之间对特定利益的分配分割。•交易双方的价格谈判•劳资双方的工资争端•合作者的利润奖金分配•等等两人讨价还价问题两人讨价还价博弈的分配一般用s=(s1,s2)表示，其中s1和s2分别代表两个博弈方的分配。分配受问题条件和基本理性要求的约束，例如在两个人分100元的问题中，分配必须满足双方利益之和不超过100，其次双方的利益分配必须都在0到100之间。满足上述两个要求的分配称为本博弈的“可行分配”两人讨价还价的可行分配可以用集合，其中i=1,2,m是最大可分配利益，集合S也称为“可行分配集”。可行分配集：满足问题条件和基本理性要求约束的分配构成的集合。1212=,|0,iSsssmssm分配与可行分配：可行分配集两人讨价还价问题•因为分配中各博弈方的利益在博弈过程中没有实现的期望利益，因而需要考虑博弈方的风险态度，而且讨价还价的对象常常不是现金利益，而是实物、资源或项目等，因此还需要考虑博弈方的主观效用评价问题。•所以两人讨价还价问题不仅需要考虑分配s=(s1,s2)，也需要考虑到效用配置u=(u1,u2),ui是博弈方的期望效用，是可行分配集S到实数集的实值函数ui：S→R,一般是博弈方自身利益的函数。•效用配置集：所有可能的效用配置构成“效用配置集”，它是可行分配集S在效用函数下的像。S与U一般都是凸紧集。当利益分配的是现金且博弈方是风险中性的时候，期望效用等于利益，𝑢𝑖=𝑢𝑖(s)=𝑢𝑖(𝑠𝑖)=𝑠𝑖。效用配置与效用函数两人讨价还价问题•谈判破裂时博弈双方的利益称为“谈判破裂点”或“破裂点”通常用d=(d1,d2)表示，其中di是博弈方i在谈判破裂时可以得到的收益。谈判破裂点也是讨价还价双方的可行选择之一假如甲乙两人进行一个项目的合作谈判，假设该项目的预期利润是10000元。但甲不搞这个项目还有另外一个能获利2000元的项目，而乙则没有其他的获利机会，那么如果甲和乙之间的谈判破裂，甲可获得2000元，乙则一无所有。用谈判破裂点表示就是d=(d1,d2)=(2000,0)•一个讨价还价模型要有意义，至少存在一个分配𝑠∈𝑆，能带给博弈双方大于谈判点的效用，既满足,𝑢𝑖(s)≥𝑢𝑖(d)对i=1,2都满足。谈判破裂点其中S是可行分配集，d为破裂点，u1，u2是两个博弈方各自的效用函数两人讨价还价问题可以是对称的也可以是不对称的，对称是指博弈双方在立场地位、效用函数、破裂点等方面无差异，可用效用配置集的对称性表示，即：若(𝑢1,𝑢2)∈𝑈，则(𝑢2,𝑢1)∈𝑈表示。上面的几个方面是一个两人讨价还价问题的基本要素，是抽象一个两人讨价还价问题必须设定的基本方面。一般我们用我们将上述二人讨价还价问题记为：𝐵＝(𝑆,𝑑;𝑢1,𝑢2)两人讨价还价问题定义：两人讨价还价问题纳什解导出分配满足效率和公平两个基本要求。效率要求可以包含帕累托效率和总体利益最大化两个层次的要求，而总体利益最大化经常与个体理性相矛盾，因而效率要求我们采用与个体理性没有矛盾的帕累托效率。帕累托效率公理若(𝑠1,𝑠2)和(𝑠1′,𝑠2′)均是两人讨价还价问题的可行分配协议，且𝑢1(𝑠1)≥𝑢1(𝑠1′),𝑢2(𝑠2)≥𝑢2(𝑠2′),那么(𝑠1′,𝑠2′)必然不是讨价还价博弈的结果(Nash解)两人讨价还价问题灰色部分表示两人讨价还价的效用配置集合，满足帕累托效率要求的效用配置就是效用配置集边界上的红色线条，也称为‘帕累托效率边界’。关于帕累托边界上的点(u1∗,u2∗)，效用配置集上的其他任何一点(u1,u2)都不会同时满足𝑢1≥𝑢1∗,𝑢2≥𝑢2∗。帕累托效率公理也可以表达为“讨价还价问题的解落在帕累托边界上”。帕累托效率公理表明虽然讨价还价的结果可能与双方的谈判技巧相关，但两个对手讨价还价的结果必须落在该边界上，双方谈判的内容只是究竟取决该边界上哪一点而已。对称性公理介绍在自愿交易、合作活动中，人们比较容易接受公平的交易或合作方案，如果人们认为一个方案不公平，即使能够带来更大的利益，也常常会拒绝接受。如果双方的情况是对称的，双方得到相同待遇显然是普遍接受的公平原则。这可以归纳为如下所列的“对称性公理”对称性公理图1对称性公理图示对称线有了上述帕累托效率和对称性两个公理，就可以找到两人讨价还价问题的解了，下面以100元现金讨价还价问题为例进行说明。1）两人分100元的讨价还价问题是对称的，即两人均可以在[0,100]之间进行讨价还价。2)以横、纵轴分别表示两个博弈方得到的效用（此处等于利益）。3)同时满足对称性和有效性两个公理的分配。以图2进行解释：图2两人分100元的合作博弈解对称线(100,0)(0,100)(50,50)这样，(50,50)同时满足了公平与效率两方面要求，是该种情况下的唯一分配，是双方最能够接受的的“合理”分配解。事实上，所有两人对称的讨价还价问题，都可以用对称性和帕累托效率两个公理进行求解。然而，现实生活中的许多种因素会造成讨价双方的处境不对称。对于非对称的讨价还价问题，对称行公理无法直接运用。引起两人讨价还价博弈不对称的原因：双方谈判破裂点d的差异，如图3所示。图3两人谈判破裂点示意图非对称讨价还价博弈问题的求解图4谈判破裂点非对称问题的解决对称线线性变换不变性公理介绍现实生活中，除了谈判破裂点外，还有许多因素会引起讨价还价问题的不对称性，如博弈方来自物价差异较大的不同地方，同样的收入有不同的购买力等等情况。这些因素的影响一般可以用效用函数的仿射变换:u1‘=a1+𝑏1𝑢1u2‘=a2+𝑏2𝑢2来表示，其中𝑏1，𝑏20.因为这些不对称性是由与讨价还价无关的博弈方自身因素引起的，因此不应该影响讨价还价的分配结果，从而上述变换实际上不会影响到偏好结构。这可以归结为“线性变换不变性公理”，下面对其进行介绍。线性变换不变性公理如果(𝒔𝟏∗,𝒔𝟐∗)是一个两人讨价还价问题的解，那么当讨价还价问题中的效用变化为𝒖𝒊‘=𝒂𝒊+𝒃𝒊𝒖𝒊时，(𝒔𝟏∗,𝒔𝟐∗)仍然是讨价还价的解。线性变换不变性公理表明了讨价还价问题解的不变性，是指实质性的结果，也就是利益分配不变，效用配置的结果其实还是变化的，也要做与效用函数相同的线性变换。公理应用：利用线性变换不变性公理，可以把许多非线性讨价还价问题通过线性变化转化为对称问题，根据对称性和帕累托效率公理求解以后，再得到原讨价还价问题的解。下面针对果农和粮农分100亩土地的问题，对线性变换不变性公理进行进一步解释。果农和粮农分100亩土地的问题问题背景：果农和粮农要分100亩土地，分别种植水果和粮食。种植水果和粮食的利润分别为每亩地800元和500元。问题分析：这个讨价还价问题的效用配置集为𝑢1,𝑢2=(800𝑠1,500𝑠2)，其中0≤s1≤100且s1+s2≤100。显然，这个讨价还价问题是不对称的，其效用配置集可以图5表示：图5两人分土地问题的效用配置集8000050000u2u1图6分土地问题的线性不变性公理示意图对称线100100(50,50)问题解决：1)对效用配置集进行变换：u1‘=u1/800=s1，u2‘=u2/500=s2变换后讨价还价问题的效用配置集为u1‘,u2‘=(s1,s2)，其中0≤si≤100且s1+s2≤100.显然是对称的。2)变换后的讨价还价问题可以利用对称性公理和帕累托效率公理解得结果𝑠1∗,𝑠2∗=50,50,如图6所示。3)根据线性变换不变性公理，代入原讨价还价问题的效用函数，得到效用配置解为u1∗,u2∗=800×50,500×50=(40000,25000).果农和粮农分100亩土地的问题𝑢2′=𝑠2𝑢1′=s1这样，根据线性变换不变性公理，类似上述不影响偏好结构的博弈方本身因素引起非对称问题都可以得到解决。但是如果存在有博弈方风险态度和效用偏好引起的偏好结构差异，且理论上讨价还价的效用配置集可以很不规则，无法用线性变换转变成对称集合的情况，就无法用线性变换不变性公理得到解决。需要用另外一种对称化的方法进行求解，如下所述：求解无法用线性变换对称化的讨价还价问题的方法思路：增加实际上不会被选择的“无关”分配方案，把非对称的效用配置集扩展成对称的