2015年陕西高考理科数学试题及答案

2015年高考陕西省理科数学真题一、选择题1.设集合2{|}Mxxx，{|lg0}Nxx，则MN（）A．[0,1]B．(0,1]C．[0,1)D．(,1]2.某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为（）A．167B．137C．123D．933.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数3sin()6yxk，据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（）A．5B．6C．8D．104.二项式(1)()nxnN的展开式中2x的系数为15，则n（）A．4B．5C．6D．75.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．3B．4C．24D．346.“sincos”是“cos20”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要7.对任意向量,abrr，下列关系式中不恒成立的是（）A．|?|||||ababrrrrB．||||||||ababurrrrC．22()||ababrrrrD．22(ab)(ab)abrrrrrr8.根据下边的图，当输入x为2006时，输出的y（）A．28B．10C．4D．29.设()ln,0fxxab，若()pfab，()2abqf，1(()())2rfafb，则下列关系式中正确的是（）A．qrpB．qrpC．prqD．prq10.某企业生产甲乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额表所示，如果生产1吨甲乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（）A．12万元B．16万元C．17万元D．18万元11.设复数(1)zxyi(,)xyR，若||1z，则yx的概率（）A．3142B．1142C．112D．11212.对二次函数2()fxaxbxc（a为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是（）A．-1是()fx的零点B．1是()fx的极值点C．3是()fx的极值D．点(2,8)在曲线()yfx上二、填空题13.中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为14.若抛物线22(0)ypxp的准线经过双曲线221xy的一个焦点，则p=15.设曲线xye在点（0,1）处的切线与曲线1(0)yxx上点p处的切线垂直，则p的坐标为16.如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为三、解答题17.C的内角，，C所对的边分别为a，b，c．向量,3mab与cos,sinn平行．求；若7a，2b求C的面积．18.如图1，在直角梯形CD中，D//C，D2，C1，D2，是D的中点，是C与的交点．将沿折起到1的位置，如图2．证明：CD平面1C；若平面1平面CD，求平面1C与平面1CD夹角的余弦值．19.设某校新、老校区之间开车单程所需时间为，只与道路畅通状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：求的分布列与数学期望；刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．20.已知椭圆:22221xyab（0ab）的半焦距为c，原点到经过两点,0c，0,b的直线的距离为12c．求椭圆的离心率；如图，是圆:225212xy的一条直径，若椭圆经过，两点，求椭圆的方程．21.设nfx是等比数列1，x，2x，，nx的各项和，其中0x，n，2n．证明：函数F2nnxfx在1,12内有且仅有一个零点（记为nx），且11122nnnxx；设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为ngx，比较nfx与ngx的大小，并加以证明．22.如图，切e于点，直线D交e于D，两点，CD，垂足为C．证明：CDD；若D3DC，C2，求e的直径．23.在直角坐标系xy中，直线l的参数方程为13232xtyt（t为参数）．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，C的极坐标方程为23sin．写出Ce的直角坐标方程；为直线l上一动点，当到圆心C的距离最小时，求的直角坐标．2015年高考陕西省理科数学真题答案一、选择题1.答案：A解析过程：由2{x}{0,1},MxxMN{xlg0}N{x0x1}x所以0,1MN，选A2.答案：B解析过程：由图可知该校女教师的人数为，选B3.答案：C解析过程：试题分析：由图像得，当时，求得，当时，，选C4.答案：B解析过程：二项式(1)nx的展开式的通项是1rrrnTCx，令2r得2x的系数是2nC，因为2x的系数为15，所以215nC，即2300nn，解得：6n或5n，因为nN，所以6n，选C5.答案：D解析过程：试题分析：由几何体的三视图可知该几何体为圆柱的截去一半，所以该几何体的表面积为，选6.答案：A11070%150(160%)7760137sin()16xmin2y5ksin()16xmax3158y21121222342D解析过程：22cos20cossin0(cossin)(cossin)0所以sincos或sin=-cos，选A7.答案：B解析过程：因为cos,abababab，所以选项A正确；当a与b方向相反时，abab不成立，所以选项B错误；向量的平方等于向量的模的平方，所以选项C正确；22(ab)(ab)abrrrrrr所以选项D正确，选B8.答案：C解析过程：初始条件：；第1次运行：；第2次运行：；第3次运行：；；第1003次运行：；第1004次运行：．不满足条件，停止运行，所以输出的，故选B．9.答案：B解析过程：()lnpfabab，()ln22ababqf，11(()())lnln22rfafbabab函数()lnfxx在0,上单调递增，因为2abab，所以()()2abffab，所以qpr，故选C10.答案：D解析过程：设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为、吨，则利润2006x2004x2002x2000x0x2x0?x23110yxy34zxy由题意可列，其表示如图阴影部分区域：当直线过点时，取得最大值，所以，故选D11.答案：D解析过程：如图可求得，，阴影面积等于若，则的概率是，故选B．12.答案：A解析过程：假设选项A错误，则选项B、C、D正确，()2fxaxb，因为1是()fx的极值点，3是()fx的极值，所以(1)0(1)3ff，203ababc，解得23baca，因为点(2,8)在曲线yfx上，所以428abc，解得：5a，所以10b，8c，所以2()5108fxxx因为215(1)10(1)8230f，所以1不是()fx的零点，所以假设成立，选A二、填空题13.答案：5解析过程：设数列的首项为，则，32122800xyxyxy340xyz(2,3)Azmax324318z2222(1)||(1)1(1)1zxyizxyxy(1,1)A(1,0)B21111114242||1zyx2111421421a12015210102020a所以，故该数列的首项为14.答案：22解析过程：抛物线22(0)ypxp的准线方程是2px，双曲线221xy的一个焦点1(2,0)F，因为抛物线22(0)ypxp的准线经过双曲线221xy的一个焦点，所以22p，解得22p15.答案：（1,1）解析过程：因为，所以，所以曲线在点处的切线的斜率，设的坐标为（），则，因为，所以，所以曲线在点处的切线的斜率，因为，所以，即，解得，因为，所以，所以，即的坐标是16.答案：1.2解析过程：建立空间直角坐标系，如图所示：原始的最大流量是，设抛物线的方程为（），因为该抛物线过点，所以，15a5xyexyexye0,10101xkye00,xy00x001yx1yx21yx1yx02201xxkyx121kk2011x201x01x00x01x01y1,11101022216222xpy0p5,22225p解得，所以，即，所以当前最大流量是，故原始的最大流量与当前最大流量的比值是三、解答题17.答案：（I）；（II）．解析过程：（I）因为，所以，由正弦定理，得又，从而，由于，所以(II)解法一：由余弦定理，得而得，即因为，所以.故ABC的面积为解法二：由正弦定理得72sinsin3B，从而21sin7B，又由ab，知AB，所以27cos7B故sinsin()CABsin()3Bsincoscossin33BB32114254p2252xy2225yx5323535522224022255255257575753xdxxx161.24033332//mnsin3cos0aBbA-=sinAsinB3sinBcosA0-=sin0tan3A=0A3A2222cosabcbcA=+-7b2,a==32742cc=+-2230cc--=0c3c=133bcsinA22=所以ABC的面积为133sin22bcA18.答案：（I）证明见解析；（II）解析过程：（I）在图1中，因为AB=BC=1,AD=2,E是AD的中点，BAD=，所以BEAC即在图2中，BE，BEOC从而BE平面又CDBE，所以CD平面.(II)由已知，平面平面BCDE，又由（1）知，BE，BEOC所以为二面角的平面角，所以.如图，以O为原点，建立空间直角坐标系，因为,所以得，.设平面的法向量，平面的法向量，平面与平面夹角为，则，得，取，，得，取，6321OA1AOC1AOC1ABE1OA1AOC1--CABE1OC2A11B=E=BC=ED=1AABCED12222(,0,0),E(,0,0),A(0,0,),C(0,,0),2222B-22BC(,,0),22-122AC(0,,)22-CDBE(2,0,0)==-1BCA1111(,,)nxyz=1CDA2222(,,)nxyz=1BCA1CDA11100nBCnAC111100xyyz1(1,1,1)n=22100nCDnAC22200xyz2(0,1,1)n从而，即平面与平面夹角的余弦值为19.答案：T的分布列为：ET=32（分钟）解析过程：（I）由统计结果可得T的频率分步为（分钟）25303540频率0.20.30