2008年高考理科数学试题(天津卷)及参考答案

2008年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分．考试用时120分钟．第I卷1至2页，第II卷3至10页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．祝各位考生考试顺利！第I卷注意事项：1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上．并在规定位置粘贴考试用条形码．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试卷上的无效．3．本卷共10小题，每小题5分，共50分．参考公式：如果事件互斥，那么球的表面积公式球的体积公式如果事件相互独立，那么其中表示球的半径一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．是虚数单位，（）A．B．C．D．2．设变量满足约束条件则目标函数的最大值为（）A．2B．3C．4D．53．设函数，则是（）A．最小正周期为的奇函数B．最小正周期为的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数4．设是两条直线，是两个平面，则的一个充分条件是（）A．B．AB，24πSR()()()PABPAPB34π3VRAB，R()()()PABPAPBi3i(i1)i111iixy，0121.xyxyxy≥，≤，≥5zxy()sin22fxxxR，()fxab，，abab，∥，ab，，∥C．D．5．设椭圆上一点到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则到右准线的距离为（）A．6B．2C．D．6．设集合，，，则的取值范围是（）A．B．C．或D．或7．设函数的反函数为，则（）A．在其定义域上是增函数且最大值为1B．在其定义域上是减函数且最小值为0C．在其定义域上是减函数且最大值为1D．在其定义域上是增函数且最小值为08．已知函数则不等式的解集是（）A．B．C．D．9．已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上是增函数．令，，，则（）A．B．C．D．10．有8张卡片分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，从中取出6张卡片排成3行2列，要求3行中仅有．．中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排法共有（）A．1344种B．1248种C．1056种D．960种2008年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）ab，，∥ab，∥，22221(1)1xymmmPP1227723Sxx8TxaxaSTRa31a31a≤≤3a≤1a≥3a1a1()(01)1fxxx≤1()fx1()fx1()fx1()fx1()fx10()10xxfxxx，，，≥，(1)(1)1xxfx≤121xx≤≤1xx≤21xx≤2121xx≤≤()fxR0，∞2sin7af5cos7bf5tan7cfbaccbabcaabc数学（理工类）第Ⅱ卷注意事项：1．答卷前将密封线内的项目填写清楚．2．用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上．3．本卷共12小题，共100分．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上．11．的二项展开式中的系数是（用数字作答）．12．一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为，则该正方体的表面积为．13．已知圆的圆心与抛物线的焦点关于直线对称，直线与圆相交于两点，且，则圆的方程为．14．如图，在平行四边形中，，，则．15．已知数列中，，，则．16．设，若仅有一个常数使得对于任意的，都有满足方程，这时的取值的集合为．三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．18．（本小题满分12分）52xx2x43C24yxyx4320xyCAB，6ABCABCD(12)AC，(32)BD，ADACna11a111()3nnnaan*Nlimnna1ac2xaa，2yaa，loglogaaxyca2cos410x324x，sinxsin23xBACD甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与，且乙投球2次均未命中的概率为．（Ⅰ）求乙投球的命中率；（Ⅱ）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为，求的分布列和数学期望．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面是矩形．已知，，，，．（Ⅰ）证明平面；（Ⅱ）求异面直线与所成的角的大小；（Ⅲ）求二面角的大小．20．（本小题满分12分）已知函数，其中．（Ⅰ）若曲线在点处的切线方程为，求函数的解析式；（Ⅱ）讨论函数的单调性；（Ⅲ）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围．21．（本小题满分14分）已知中心在原点的双曲线的一个焦点是，一条渐近线的方程是．（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）若以为斜率的直线与双曲线相交于两个不同的点，且线段的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求的取值范围．12p116pPABCDABCD3AB2AD2PA22PD60PAB∠ADPABPCADPBDA()(0)afxxbxxabR，()yfx(2(2))Pf，31yx()fx()fx122a，()10fx≤114，bC1(30)F，520xyC(0)kklCMN，MN812kABCDP22．（本小题满分14分）在数列与中，，，数列的前项和满足，为与的等比中项，．（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）求数列与的通项公式；（Ⅲ）设，证明．2008年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）参考解答一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分50分．1．A2．D3．B4．C5．B6．A7．D8．C9．A10．B二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分24分．11．4012．2413．14．315．16．三、解答题17．本小题主要考查同角三角函数的基本关系式、特殊角三角函数值、两角和的正弦、两角差的余弦、二倍角的正弦与余弦等基础知识，考查基本运算能力．满分12分．（Ⅰ）解法一：因为，所以，于是．．nanb11a14bnannS1(3)0nnnSnS12nanb1nbn*N2a2bnanb1212(1)(1)(1)naaannTbbbn*N…，223nTnn，≥22(1)10xy762324x，442x，272sin1cos4410xxsinsinsincoscossin444444xxxx7222241021025解法二：由题设得，即．又，从而，解得或．因为，所以．（Ⅱ）解：因为，故．，．所以，．18．本小题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件的概率，离散型随机变量的分布列和数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．满分12分．（Ⅰ）解：设“甲投球一次命中”为事件，“乙投球一次命中”为事件，由题意得，解得或（舍去），所以乙投球的命中率为．（Ⅱ）解：由题设和（Ⅰ）知，，，．可能的取值为0，1，2，3，故，，，222cossin2210xx1cossin5xx22sincos1xx225sin5sin120xx4sin5x3sin5x324x，4sin5x324x，2243cos1sin155xx24sin22sincos25xxx27cos22cos125xx2473sin2sin2coscos2sin33350xxxAB221(1())(1)16PBp34p54p341()2PA1()2PA3()4PB1()4PB2111(0)()()2432PPAPBB12(1)()()()()()PPAPBBCPBPBPA2113117224442322139(3)()()2432PPAPBB．的分布列为的数学期望．19．本小题主要考查直线和平面垂直、异面直线所成的角、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．满分12分．（Ⅰ）证明：在中，由题设，，，可得，于是．在矩形中，，又，所以平面．（Ⅱ）解：由题设，，所以（或其补角）是异面直线与所成的角．在中，由余弦定理得．由（Ⅰ）知平面，平面，所以，因而，于是是直角三角形，故．所以异面直线与所成的角的大小为．（Ⅲ）解：过点作于，过点作于，连结．因为平面，平面，所以．又，因而平面，故为在平面内的射影．由三垂线定理可知，．从而是二面角的平面角．由题设可得，，，，，．15(2)1(0)(1)(3)32PPPP0123P1327321532932171590123232323232EPAD△2PA2AD22PD222PAADPDADPAABCDADABPAABAADPABBCAD∥PCB∠PCADPAB△222cos7PBPAABPAABPABADPABPBPABADPBBCPBPBC△7tan2PBPCBBCPCAD7arctan2PPHABHHHEBDEPEADPABPHPABADPHADABAPHABCDHEPEABCDBDPEPEH∠PBDAsin603PHPAcos601AHPA2BHABAH2213BDABAD413ADHEBHBDABCDPHE于是在中，．所以二面角的大小为．20．本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、解不等式等基础知识，考查运算能力、综合分析和解决问题的能力．满分12分．（Ⅰ）解：，由导数的几何意义得，于是．由切点在直线上可得，解得．所以函数的解析式为．（Ⅱ）解：．当时，显然，这时在，内是增函数．当时，令，解得．当变化时，，的变化情况如下表：↗极大值↘↘极小值↗所以在，内是增函数，在，内是减函数．（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，在上的最大值为与中的较大者，对于任意的，不等式在上恒成立，当且仅当即RtPHE△39tan4PHPEHHEPBDA39arctan42()1afxx(2)3f8a(2(2))Pf，31yx27b9b()fx8()9fxxx2()1afxx0a≤()0(0)fxx()fx(0)∞，(0)，∞0a()0fxxax()fx()fxx()a∞，a(0)a，(0)a，a()a，∞()fx00()fx()fxa∞，a，∞(0)a，(0)a，()fx114，14f(1)f122a，()10fx≤114，1104(1)10ff≤，≤，39449baba≤，≤对任意的成立．从而得，所以满足条件的的取值范围是．21．本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、线段的定比分点等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．满分14分．（Ⅰ）解：设双曲线的方程为，由题设得解得所以双曲线的方程为．（Ⅱ）解：设直线的方程为，点，的坐标满足方程