2017年北京高考理科数学试题及答案

1绝密★启封并使用完毕前2017年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）若集合A={x|－2x1}，B={x|x－1或x3}，则AᴨB=（A）{x|－2x－1}（B）{x|－2x3}（C）{x|－1x1}（D）{x|1x3}（2）若复数（1－i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（A）(–∞，1)（B）(–∞，－1)（C）(1，+∞)（D）(–1，+∞)（3）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（A）2（B）23（C）53（D）58（4）若x，y满足x≤3，x+y≥2，则x+2y的最大值为y≤x，2（A）1（B）3（C）5（D）9（5）已知函数1(x)33xxf，则(x)f（A）是奇函数，且在R上是增函数（B）是偶函数，且在R上是增函数（C）是奇函数，且在R上是减函数（D）是偶函数，且在R上是减函数（6）设m,n为非零向量，则“存在负数，使得mn”是“mn0＜”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（7）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（A）32（B）23（C）22（D）2（8）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与MN最接近的是（参考数据：lg3≈0.48）（A）1033（B）1053（C）1073（D）1093第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。（9）若双曲线221yxm的离心率为3，则实数m=_______________.（10）若等差数列na和等比数列nb满足a1=b1=–1，a4=b4=8，则22ab=__________.（11）在极坐标系中，点A在圆22cos4sin40上，点P的坐标为(1,0)，则|AP|的最小值为.（12）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称。若1sin3，则cos()=.3（13）能够说明“设a，b，c是任意实数.若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为______________________________.（14）三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点Ai的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点Bi的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1，2，3。①记Qi为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3中最大的是_________。②记pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1，p2，p3中最大的是_________。三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15）（本小题13分）在△ABC中，A=60°，c=37a.（Ⅰ）求sinC的值；（Ⅱ）若a=7,求△ABC的面积.（16）（本小题14分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD//平面MAC,PA=PD=6,AB=4.4(I)求证：M为PB的中点；(II)求二面角B-PD-A的大小；(III)求直线MC与平面BDP所成角的正炫值。（17）（本小题13分）为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药。一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“+”表示为服药者.（Ⅰ）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；5（Ⅱ）从图中A,B,C,D,四人中随机选出两人，记为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求的分布列和数学期望E（）；（Ⅲ）试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小.（只需写出结论）（18）（本小题14分）已知抛物线C：y2=2px过点P(1,1).过点(0,12)作直线l与抛物线C交于不同的两点M,N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A,B，其中O为原点.（Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（Ⅱ）求证：A为线段BM的中点.（19）（本小题13分）已知函数f(x)=excosx−x.（Ⅰ）求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；（Ⅱ）求函数f(x)在区间[0,2]上的最大值和最小值.6（20）（本小题13分）设{an}和{bn}是两个等差数列，记cn=max{b1–a1n,b2–a2n,…,bn–ann}(n=1,2,3,…)，其中max{x1,x2,…,xs}表示x1,x2,…,xs这s个数中最大的数．（Ⅰ）若an=n，bn=2n–1，求c1,c2,c3的值，并证明{cn}是等差数列；（Ⅱ）证明：或者对任意正数M，存在正整数m，当n≥m时，ncMn；或者存在正整数m，使得cm,cm+1,cm+2,…是等差数列．72017年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）答案一、（1）A（2）B（3）C（4）D（5）A（6）A（7）B（8）D二、（9）2（10）1（11）1（12）79（13）1,2,3（答案不唯一）（14）Q1p2三、（15）（共13分）解：（Ⅰ）在△ABC中，因为60A，37ca，所以由正弦定理得sin3333sin7214cACa.（Ⅱ）因为7a，所以3737c.由余弦定理2222cosabcbcA得222173232bb，解得8b或5b（舍）.所以△ABC的面积113sin8363222SbcA.（16）（共14分）解：（I）设,ACBD交点为E，连接ME.因为PD∥平面MAC，平面MAC平面PBDME，所以PDME∥.因为ABCD是正方形，所以E为BD的中点，所以M为PB的中点.（II）取AD的中点O，连接OP，OE.因为PAPD，所以OPAD.8又因为平面PAD平面ABCD，且OP平面PAD，所以OP平面ABCD.因为OE平面ABCD，所以OPOE.因为ABCD是正方形，所以OEAD.如图建立空间直角坐标系Oxyz，则(0,0,2)P，(2,0,0)D，(2,4,0)B，(4,4,0)BD，(2,0,2)PD.设平面BDP的法向量为(,,)xyzn，则00BDPDnn，即440220xyxz.令1x，则1y，2z.于是(1,1,2)n.平面PAD的法向量为(0,1,0)p，所以1cos,||||2npnpnp.由题知二面角BPDA为锐角，所以它的大小为3.（III）由题意知2(1,2,)2M，(2,4,0)D，2(3,2,)2MC.设直线MC与平面BDP所成角为，则||26sin|cos,|9||||MCMCMCnnn.所以直线MC与平面BDP所成角的正弦值为269.（17）（共13分）解：（Ⅰ）由图知，在服药的50名患者中，指标y的值小于60的有15人，所以从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标y的值小于60的概率为150.350.（Ⅱ）由图知，A,B,C,D四人中，指标x的值大于1.7的有2人：A和C.所以的所有可能取值为0,1,2.921122222222444CCCC121(0),(1),(2)C6C3C6PPP.所以的分布列为012P162316故的期望121()0121636E.（Ⅲ）在这100名患者中，服药者指标y数据的方差大于未服药者指标y数据的方差.（18）（共14分）解：（Ⅰ）由抛物线C：22ypx过点P（1，1），得12p.所以抛物线C的方程为2yx.抛物线C的焦点坐标为（14，0），准线方程为14x.（Ⅱ）由题意，设直线l的方程为12ykx（0k），l与抛物线C的交点为11(,)Mxy，22(,)Nxy.由212ykxyx，得224(44)10kxkx.则1221kxxk，12214xxk.因为点P的坐标为（1，1），所以直线OP的方程为yx，点A的坐标为11(,)xy.直线ON的方程为22yyxx，点B的坐标为2112(,)yyxx.因为21122112112222yyyyyyxxyxxx122112211()()222kxxkxxxxx10122121(22)()2kxxxxx22211(22)42kkkkx0，所以211122yyyxx.故A为线段BM的中点.（19）（共13分）解：（Ⅰ）因为()ecosxfxxx，所以()e(cossin)1,(0)0xfxxxf.又因为(0)1f，所以曲线()yfx在点(0,(0))f处的切线方程为1y.（Ⅱ）设()e(cossin)1xhxxx，则()e(cossinsincos)2esinxxhxxxxxx.当π(0,)2x时，()0hx，所以()hx在区间π[0,]2上单调递减.所以对任意π(0,]2x有()(0)0hxh，即()0fx.所以函数()fx在区间π[0,]2上单调递减.因此()fx在区间π[0,]2上的最大值为(0)1f，最小值为ππ()22f.（20）（共13分）解：（Ⅰ）111110,cba21122max{2,2}max{121,322}1cbaba，3112233max{3,3,3}max{131,332,533}2cbababa.当3n时，1111()()()()20kkkkkkkkbnabnabbnaan，所以kkbna关于*kN单调递减.11所以112211max{,,,}1nnncbanbanbanbann.所以对任意1,1nncn，于是11nncc，所以{}nc是等差数列.（Ⅱ）设数列{}na和{}nb的公差分别为12,dd，则12111121(1)[(1)]()(1)kkbnabkdakdnbandndk.所以1121211121(1)(),,nbanndnddndcbandnd当时，当时，①当10d时，取正整数21dmd，则当nm时，12ndd，因此11ncban.此时，12,,,mmmccc是等差数列.②当10d时，对任意1n，1121121(1)max{,0}(1)(max{,0}).ncbanndbanda此时，123,,,,,ncccc是等差数列.③当10d时，当21dnd时，有12ndd.所以1121121112(1)()()ncbanndndbdnddadnnn111212()||.nddadbd对任意正数M，取正整数12112211||max{,}Mbdadddmdd，故当nm时，ncMn.