2014年山东高考文科数学真题及答案

12014年普通高等学校招生全国统一考试文科数学山东卷第Ｉ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。(1)已知,,abRi是虚数单位.若ai＝2bi，则2()abi(A)34i(B)34i(C)43i(D)43i(2)设集合2{|20},{|14}AxxxBxx，则AB(A)(0,2](B)(1,2)(C)[1,2)(D)(1,4)(3)函数21()log1fxx的定义域为(A)(0,2)(B)(0,2](C)(2,)(D)[2,)(4)用反证法证明命题：“设,ab为实数，则方程30xaxb至少有一个实根”时，要做的假设是(A)方程30xaxb没有实根(B)方程30xaxb至多有一个实根(C)方程30xaxb至多有两个实根(D)方程30xaxb恰好有两个实根(5)已知实数,xy满足(01)xyaaa，则下列关系式恒成立的是(A)33xy(B)sinsinxy(C)22ln(1)ln(1)xy(D)221111xy(6)已知函数log()(,0,1)ayxcacaa为常数，其中的图象如右图，则下列结论成立的是(A)0,1ac(B)1,01ac(C)01,1ac(D)01,01ac(7)已知向量(1,3),(3,)abm.若向量,ab的夹角为6，则实数m(A)23(B)3(C)0(D)3(8)为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图。已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为xEO2(A)6(B)8(C)12(D)18(9)对于函数()fx，若存在常数0a，使得x取定义域内的每一个值，都有()(2)fxfax，则称()fx为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是(A)()fxx(B)3()fxx(C)()tanfxx(D)()cos(1)fxx(10)已知,xy满足约束条件10,230,xyxy当目标函数zaxby(0,0)ab在该约束条件下取到最小值25时，22ab的最小值为(A)5(B)4(C)5(D)2第II卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.(11)执行右面的程序框图，若输入的x的值为1，则输出的n的值为.(12)函数23sin2cos2yxx的最小正周期为.(13)一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为。(14)圆心在直线20xy上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为23，则圆C的标准方程为。(15)已知双曲线22221(0,0)xyabab的焦距为2c，右顶点为A，抛物线22(0)xpyp的焦点为F，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c，且||FAc，则双曲线的渐近线方程为。三、解答题：本大题共6小题，共75分.(16)（本小题满分12分）海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：件）如右表所示.工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.地区ABC数量50150100（Ｉ）求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；（II）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概171615141312/kPa舒张压频率/组距0.360.080.160.24开始输入x是0n3430xx结束1xx否输入x1nn3率.(17)（本小题满分12分）ABC中，角A，B，C所对的边分别为,,abc.已知63,cos,32aABA.（Ｉ）求b的值；（II）求ABC的面积.(18)（本小题满分12分）如图，四棱锥PABCD中，1,,,,2APPCDADBCABBCADEF平面∥分别为线段,ADPC的中点.（Ｉ）求证：APBEF∥平面；（II）求证：BEPAC平面.(19)（本小题满分12分）在等差数列{}na中，已知公差2d，2a是1a与4a的等比中项.（Ｉ）求数列{}na的通项公式；（II）设(1)2nnnba，记1234(1)nnnTbbbbb…，求nT.(20)（本小题满分13分）设函数1()ln1xfxaxx，其中a为常数.（Ｉ）若0a，求曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程；（II）讨论函数()fx的单调性.(21)（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为32，直线yx被椭圆C截得的线段长为4105.（Ｉ）求椭圆C的方程；（II）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点）.点D在椭圆C上，且ADAB，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点.（i）设直线BD，AM的斜率分别为12,kk，证明存在常数使得12kk，并求出的值；（ii）求OMN面积的最大值.AFCDBPE42014年高考山东卷文科数学真题及参考答案一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，选择符合题目要求的选项。（1）已知iRba,,是虚数单位，若iabi2，则2）（bia（A）i43（B）i43（C）i34（D）i34【解析】由iabi2得，12ba，，2）（biaiiii4344)2(22故答案选A（2）设集合},41{,}02{2xxBxxxA则BA（A）(0,2]（B）(1,2)（C）[1,2)（D）(1,4)【解析】4,1)20(BA，，，数轴上表示出来得到BA[1,2)故答案为C（3）函数1log1)(2xxf的定义域为（A）)20(，（B）]2,0(（C）),2(（D）)2[，【解析】01log2x故2x。选D（4）用反证法证明命题“设,,Rba则方程02baxx至少有一个实根”时要做的假设是（A）方程02baxx没有实根（B）方程02baxx至多有一个实根（C）方程02baxx至多有两个实根（D）方程02baxx恰好有两个实根【解析】答案选A，解析略。（5）已知实数yx,满足)10(aaayx，则下列关系式恒成龙的是（A）33yx（B）yxsinsin（C）)1ln()1ln(22yx（D）111122yx【解析】由)10(aaayx得，yx，但是不可以确定2x与2y的大小关系，故C、D排除，而xysin本身是一个周期函数，故B也不对，33yx正确。（6）已知函数)10为常数。其中()(log,aaa,ccxya的图像如右图，则下列结论成立的是（A）11,ca（B）101c,a（C）1,10ca（D）1010c,a【解析】由图象单调递减的性质可得01a，向左平移小于1个单位，故01c答案选C（7）已知向量)3()31(,m,b,a.若向量a,b的夹角为6π，则实数m=（A）32（B）3（C）0（D）3【解析】：522333cos,29233393abmabababmmmmrrrrrrrr答案：B（8）为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床实验。所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为[12,13）,[13,14）,[14,15）,[15,16].将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组。右图是根据试验数据制成的频率分布直方图。已知第一组和第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（A）6（B）8（C）12（D）18【解析】：第一组与第二组频率之和为0.24+0.16=0.4200.450500.361818612答案：C（9）对于函数f(x)，若存在常数0a，使得x取定义域内的每一个值，都有a-x)f(f(x)2，则称f(x)为准偶函数。下列函数中是准偶函数的是（A）xxf)(（B）2)(xxf（C）xxftan)(（D）)1cos()(xxf【解析】：由分析可知准偶函数即偶函数左右平移得到的。答案：D（10）已知x,y满足的约束条件,x-y-,x-y-03201当目标函数)00(,babyaxz在该约束条件下取得最小值52时，22ba的最小值为（A）5（B）4（C）5（D）2【解析】：10230xyxy求得交点为2,1，则225ab，即圆心0,0到直线2250ab的距离的平方2225245。答案：B二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，答案须填在题中横线上。11．执行右面的程序框图，若输入的x的值为1，则输出的n的值为。【解析】：根据判断条件0342xx，得31x，输入1x第一次判断后循环，11,21nnxx第二次判断后循环，21,31nnxx第三次判断后循环，31,41nnxx第四次判断不满足条件，退出循环，输出3n答案：312．函数23sin2cos2yxx的最小正周期为。6【解析】：233111sin2cossin2cos2sin2222262yxxxxx22T.答案：T13．一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为。【解析】：设六棱锥的高为h，斜高为h，则由体积1122sin6062332Vh得：1h，2232hh侧面积为126122h.答案：1214．圆心在直线20xy上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得的弦的长23，则圆C的标准方程为。【解析】设圆心,02aaa，半径为a.由勾股定理22232aa得：2a圆心为2,1，半径为2，圆C的标准方程为22214xy答案：22214xy15．已知双曲线222210,0xyabab的焦距为2c，右顶点为A，抛物线220xpyp的焦点为F，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c，且FAc，则双曲线的渐近线方程为。【解析】由题意知222Pcab，抛物线准线与双曲线的一个交点坐标为,2Pc，即,cb代入双曲线方程为22221cbab，得222ca，渐近线方程为yx，2211bcaa.答案：1三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（16）（本小题满分12分）海关对同时从,,ABC三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：件）如右表所示，工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测。地区ABC数量50150100（Ⅰ）求这6件样品中来自,,ABC各地区样品的数量；（Ⅱ）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率。7（16）【解析】：（Ⅰ）因为工作人员是按分层抽样抽取商品，所以各地区抽取商品比例为：::50:150:1001:3:2ABC所以各地区抽取商品数为：1:616A，3:636B，2:626C；（Ⅱ）设各地区商品分别为：12312,,,,,A