2020年高考数学试题(天津卷)及参考答案

绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！第I卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．2．本卷共9小题，每小题5分，共45分．参考公式：如果事件A与事件B互斥，那么()()()PABPAPB．如果事件A与事件B相互独立，那么()()()PABPAPB．球的表面积公式24SR，其中R表示球的半径．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集{3,2,1,0,1,2,3}U，集合{1,0,1,2},{3,0,2,3}AB，则UABð（）A.{3,3}B.{0,2}C.{1,1}D.{3,2,1,1,3}2.设aR，则“1a”是“2aa”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.函数241xyx的图象大致为（）A.B.C.D.4.从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：mm），将所得数据分为9组：[5.31,5.33),[5.33,5.35),,[5.45,5.47],[5.47,5.49]，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为（）A.10B.18C.20D.365.若棱长为23的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A.12B.24C.36D.1446.设0.80.70.713,,log0.83abc，则,,abc的大小关系为（）A.abcB.bacC.bcaD.cab7.设双曲线C的方程为22221(0,0)xyabab，过抛物线24yx的焦点和点(0,)b的直线为l．若C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为（）A.22144xyB.2214yxC.2214xyD.221xy8.已知函数()sin3fxx．给出下列结论：①()fx的最小正周期为2；②2f是()fx的最大值；③把函数sinyx的图象上所有点向左平移3个单位长度，可得到函数()yfx的图象．其中所有正确结论的序号是A.①B.①③C.②③D.①②③9.已知函数3,0,(),0.xxfxxx…若函数2()()2()gxfxkxxkR恰有4个零点，则k的取值范围是（）A.1,(22,)2B.1,(0,22)2C.(,0)(0,22)D.(,0)(22,)绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．2．本卷共11小题，共105分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10.i是虚数单位，复数82ii_________．11.在522xx的展开式中，2x的系数是_________．12.已知直线380xy和圆222(0)xyrr相交于,AB两点．若||6AB，则r的值为_________．13.已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________．14.已知0,0ab，且1ab，则11822abab的最小值为_________．15.如图，在四边形ABCD中，60,3BAB，6BC，且3,2ADBCADAB，则实数的值为_________，若,MN是线段BC上的动点，且||1MN，则DMDN的最小值为_________．三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16.在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc．已知22,5,13abc．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）求sinA的值；（Ⅲ）求sin24A的值．17.如图，在三棱柱111ABCABC中，1CC平面,,2ABCACBCACBC，13CC，点,DE分别在棱1AA和棱1CC上，且12,ADCEM为棱11AB的中点．（Ⅰ）求证：11CMBD；（Ⅱ）求二面角1BBED的正弦值；（Ⅲ）求直线AB与平面1DBE所成角的正弦值．18.已知椭圆22221(0)xyabab的一个顶点为(0,3)A，右焦点为F，且||||OAOF，其中O为原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点C满足3OCOF，点B在椭圆上（B异于椭圆的顶点），直线AB与以C为圆心的圆相切于点P，且P为线段AB的中点．求直线AB的方程．19.已知na为等差数列，nb为等比数列，115435431,5,4abaaabbb．（Ⅰ）求na和nb的通项公式；（Ⅱ）记na的前n项和为nS，求证：2*21nnnSSSnN；（Ⅲ）对任意的正整数n，设21132,,,.nnnnnnnabnaacanb为奇数为偶数求数列nc的前2n项和．20.已知函数3()ln()fxxkxkR，()fx为()fx的导函数．（Ⅰ）当6k时，（i）求曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程；（ii）求函数9()()()gxfxfxx的单调区间和极值；（Ⅱ）当3k…时，求证：对任意的12,[1,)xx，且12xx，有1212122fxfxfxfxxx．绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！第I卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．2．本卷共9小题，每小题5分，共45分．参考公式：如果事件A与事件B互斥，那么()()()PABPAPB．如果事件A与事件B相互独立，那么()()()PABPAPB．球的表面积公式24SR，其中R表示球的半径．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集{3,2,1,0,1,2,3}U，集合{1,0,1,2},{3,0,2,3}AB，则UABð（）A.{3,3}B.{0,2}C.{1,1}D.{3,2,1,1,3}【答案】C【解析】【分析】首先进行补集运算，然后进行交集运算即可求得集合的运算结果.【详解】由题意结合补集的定义可知：U2,1,1Bð，则U1,1ABð.故选：C.【点睛】本题主要考查补集运算，交集运算，属于基础题.2.设aR，则“1a”是“2aa”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可.【详解】求解二次不等式2aa可得：1a或0a，据此可知：1a是2aa的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，属于基础题.3.函数241xyx的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.【详解】由函数的解析式可得：241xfxfxx，则函数fx为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误；当1x时，42011y，选项B错误.故选：A.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．4.从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：mm），将所得数据分为9组：[5.31,5.33),[5.33,5.35),,[5.45,5.47],[5.47,5.49]，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为（）A.10B.18C.20D.36【答案】B【解析】【分析】根据直方图确定直径落在区间5.43,5.47之间的零件频率，然后结合样本总数计算其个数即可.【详解】根据直方图，直径落在区间5.43,5.47之间的零件频率为：6.255.000.020.225，则区间5.43,5.47内零件的个数为：800.22518.故选：B.【点睛】本题主要考查频率分布直方图的计算与实际应用，属于中等题.5.若棱长为23的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A.12B.24C.36D.144【答案】C【解析】【分析】求出正方体的体对角线的一半，即为球的半径，利用球的表面积公式，即可得解.【详解】这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，即22223232332R，所以，这个球的表面积为2244336SR.故选：C.【点睛】本题考查正方体的外接球的表面积的求法，求出外接球的半径是本题的解题关键，属于基础题.求多面体的外接球的面积和体积问题，常用方法有：（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心.6.设0.80.70.713,,log0.83abc，则,,abc的大小关系为（）A.abcB.bacC.bcaD.cab【答案】D【解析】【分析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出,,abc的大小关系.【详解】因为0.731a，0.80.80.71333ba，0.70.7log0.8log0.71c，所以1cab.故选：D.【点睛】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围.比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：（1）利用指数函数的单调性：xya，当1a时，函数递增；当01a时，函数递减；（2）利用对数函数的单调性：logayx，当1a时，函数递增；当01a时，函数递减；（3）借助于中间值，例如：0或1等.7.设双曲线C的方程为22221(0,0)xyabab，过抛物线24yx的焦点和点(0,)b的直线为l．若C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为（）A.22144xyB.2214yxC.2214xyD.