2021年北京市高考数学试题（解析版）

2021年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合|11Axx，|02Bxx，则AB（）A.1,2B.(1,2]C.[0,1)D.[0,1]【答案】B【解析】【分析】结合题意利用并集的定义计算即可.【详解】由题意可得：|12ABxx，即1,2AB.故选：B.2.在复平面内，复数z满足(1)2iz，则z（）A.2iB.2iC.1iD.1i【答案】D【解析】【分析】由题意利用复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可得：2121211112iiziiii.故选：D.3.已知()fx是定义在上[0,1]的函数，那么“函数()fx在[0,1]上单调递增”是“函数()fx在[0,1]上的最大值为(1)f”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系.【详解】若函数fx在0,1上单调递增，则fx在0,1上的最大值为1f，若fx在0,1上的最大值为1f，比如213fxx，但213fxx在10,3为减函数，在1,13为增函数，故fx在0,1上的最大值为1f推不出fx在0,1上单调递增，故“函数fx在0,1上单调递增”是“fx在0,1上的最大值为1f”的充分不必要条件，故选：A.4.某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（）A.332B.4C.33D.2【答案】A【解析】【分析】根据三视图可得如图所示的几何体（三棱锥），根据三视图中的数据可计算该几何体的表面积.【详解】根据三视图可得如图所示的几何体-正三棱锥OABC，其侧面为等腰直角三角形，底面等边三角形，由三视图可得该正三棱锥的侧棱长为1，故其表面积为213333112242，故选：A.5.双曲线2222:1xyCab过点2,3，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为（）A.2213yxB.2213xyC.22313yxD.22313xy【答案】A【解析】【分析】分析可得3ba，再将点2,3代入双曲线的方程，求出a的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】2cea，则2ca，223bcaa，则双曲线的方程为222213xyaa，将点2,3的坐标代入双曲线的方程可得22223113aaa，解得1a，故3b，因此，双曲线的方程为2213yx.故选：A.6.na和nb是两个等差数列，其中15kkakb为常值，1288a，596a，1192b，则3b（）A.64B.128C.256D.512【答案】B【解析】【分析】由已知条件求出5b的值，利用等差中项的性质可求得3b的值.【详解】由已知条件可得5115aabb，则51519619264288abba，因此，1531926412822bbb.故选：B.7.函数()coscos2fxxx，试判断函数的奇偶性及最大值（）A.奇函数，最大值为2B.偶函数，最大值为2C.奇函数，最大值为98D.偶函数，最大值为98【答案】D【解析】【分析】由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可判断最大值.【详解】由题意，()coscos2coscos2fxxxxxfx，所以该函数为偶函数，又2219()coscos22coscos12cos48fxxxxxx，所以当1cos4x时，()fx取最大值98.故选：D.8.定义：24小时内降水在平地上积水厚度（mm）来判断降雨程度．其中小雨（10mm），中雨（10mm25mm），大雨（25mm50mm），暴雨（50mm100mm），小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级（）A.小雨B.中雨C.大雨D.暴雨【答案】B【解析】【分析】计算出圆锥体积，除以圆面的面积即可得降雨量，即可得解.【详解】由题意，一个半径为200100mm2的圆面内的降雨充满一个底面半径为20015050mm2300，高为150mm的圆锥，所以积水厚度22150150312.5mm100d，属于中雨.故选：B.9.已知圆22:4Cxy，直线:lykxm，当k变化时，l截得圆C弦长的最小值为2，则m（）A.2B.2C.3D.5【答案】C【解析】【分析】先求得圆心到直线距离，即可表示出弦长，根据弦长最小值得出m【详解】由题可得圆心为0,0，半径为2，则圆心到直线的距离21mdk，则弦长为22241mk，则当0k时，弦长取得最小值为2242m，解得3m.故选：C.10.数列na是递增的整数数列，且13a，12100naaa，则n的最大值为（）A.9B.10C.11D.12【答案】C【解析】【分析】使数列首项、递增幅度均最小，结合等差数列的通项及求和公式即可得解.【详解】若要使n尽可能的大，则1a，递增幅度要尽可能小，不妨设数列na是首项为3，公差为1的等差数列，其前n项和为nS，则2nan，1131311881002S，12314121021002S，所以n的最大值为11.故选：C.第二部分（非选择题共110分）二、填空题5小题，每小题5分，共25分．11.341()xx展开式中常数项为__________．【答案】4【解析】【详解】试题分析：431xx的展开式的通项431241441C1C,rrrrrrrTxxx令3r得常数项为33441C4T.考点：二项式定理.12.已知抛物线2:4Cyx，焦点为F，点M为抛物线C上的点，且6FM，则M的横坐标是_______；作MNx轴于N，则FMNS_______．【答案】①.5②.45【解析】【分析】根据焦半径公式可求M的横坐标，求出纵坐标后可求FMNS.【详解】因为抛物线的方程为24yx，故2p且1,0F.因为6MF，62Mpx，解得5Mx，故25My，所以15125452FMNS，故答案为：5，45.13.(2,1)a，(2,1)b，(0,1)c，则()abc_______；ab_______．【答案】①.0②.3【解析】【分析】根据坐标求出ab，再根据数量积的坐标运算直接计算即可.【详解】(2,1),(2,1),(0,1)abc，4,0ab，()40010abc，22113ab.故答案为：0；3.14.若点(cos,sin)P与点(cos(),sin())66Q关于y轴对称，写出一个符合题意的___．【答案】512（满足5,12kkZ即可）【解析】【分析】根据,PQ在单位圆上，可得,6关于y轴对称，得出2,6kkZ求解.【详解】(cos,sin)P与cos,sin66Q关于y轴对称，即,6关于y轴对称，2,6kkZ，则5,12kkZ，当0k时，可取的一个值为512.故答案为：512（满足5,12kkZ即可）.15.已知函数()lg2fxxkx，给出下列四个结论：①若0k，则()fx有两个零点；②0k，使得()fx有一个零点；③0k，使得()fx有三个零点；④0k，使得()fx有三个零点．以上正确结论得序号是_______．【答案】①②④【解析】【分析】由0fx可得出lg2xkx，考查直线2ykx与曲线lggxx的左、右支分别相切的情形，利用方程思想以及数形结合可判断各选项的正误.【详解】对于①，当0k时，由lg20fxx，可得1100x或100x，①正确；对于②，考查直线2ykx与曲线lg01yxx相切于点,lgPtt，对函数lgyx求导得1ln10yx，由题意可得2lg1ln10kttkt，解得100100lgetkee，所以，存在100lg0kee，使得fx只有一个零点，②正确；对于③，当直线2ykx过点1,0时，20k，解得2k，所以，当100lg2eke时，直线2ykx与曲线lg01yxx有两个交点，若函数fx有三个零点，则直线2ykx与曲线lg01yxx有两个交点，直线2ykx与曲线lg1yxx有一个交点，所以，100lg220ekek，此不等式无解，因此，不存在0k，使得函数fx有三个零点，③错误；对于④，考查直线2ykx与曲线lg1yxx相切于点,lgPtt，对函数lgyx求导得1ln10yx，由题意可得2lg1ln10kttkt，解得100lg100teeke，所以，当lg0100eke时，函数fx有三个零点，④正确.故答案为：①②④.【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.已知在ABC中，2coscbB，23C．（1）求B的大小；（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使ABC存在且唯一确定，并求出BC边上的中线的长度．①2cb；②周长为423；③面积为334ABCS；【答案】（1）6；（2）答案不唯一，具体见解析．【解析】【分析】（1）由正弦定理化边为角即可求解；（2）若选择①：由正弦定理求解可得不存在；若选择②：由正弦定理结合周长可求得外接圆半径，即可得出各边，再由余弦定理可求；若选择③：由面积公式可求各边长，再由余弦定理可求.【详解】（1）2coscbB，则由正弦定理可得sin2sincosCBB，23sin2sin32B，23C，0,3B，220,3B，23B，解得6B；（2）若选择①：由正弦定理结合（1）可得3sin231sin2cCbB，与2cb矛盾，故这样的ABC不存在；若选择②：由（1）可得6A，设ABC的外接圆半径为R，则由正弦定理可得2sin6abRR，22sin33cRR，则周长23423abcRR，解得2R，则2,23ac，由余弦定理可得BC边上的中线的长度为：222312231cos76；若选择③：由（1）可得6A，即ab，则211333sin2224ABCSabCa，解得3a，则由余弦定理可得BC边上的中线的长度为：22233212cos33223422aabb.17.已知正方体1111ABCDABCD，点E为11AD中点，直线11BC交平面CDE于点F．（1）证明：点F为11BC的中点；（2）若点M为棱11A