2021年广西北部湾经济区中考数学试卷含答案解析

第1页，共25页2021年广西北部湾经济区中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共36分）1.下列各数是有理数的是()A.𝜋B.√2C.√33D.02.如图是一个几何体的主视图，则该几何体是()A.B.C.D.3.如图，小明从A入口进入博物馆参观，参观后可从B，C，D三个出口走出，他恰好从C出口走出的概率是()A.14B.13C.12D.234.我国天问一号火星探测器于2021年5月15日成功着陆火星表面.经测算，地球跟火星最远距离约400000000千米，其中数据400000000科学记数法表示为()A.4×109B.40×107C.4×108D.0.4×109第2页，共25页5.如图是某市一天的气温随时间变化的情况，下列说法正确的是()A.这一天最低温度是−4℃B.这一天12时温度最高C.最高温比最低温高8℃D.0时至8时气温呈下降趋势6.下列运算正确的是()A.𝑎2⋅𝑎3=𝑎5B.(𝑎2)3=𝑎5C.𝑎6÷𝑎2=𝑎3D.3𝑎2−2𝑎=𝑎27.平面直角坐标系内与点𝑃(3,4)关于原点对称的点的坐标是()A.(−3,4)B.(−3,−4)C.(3,−4)D.(4,3)8.如图，⊙𝑂的半径OB为4，𝑂𝐶⊥𝐴𝐵于点D，∠𝐵𝐴𝐶=30°，则OD的长是()A.√2B.√3C.2D.39.一次函数𝑦=2𝑥+1的图象不经过()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限10.《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步.问：人与车各几何？译文：若3人坐一辆车，则两辆车是空的；若2人坐一辆车，则9人需要步行，问：人与车各多少？设有x辆车，人数为y，根据题意可列方程组为()A.{𝑦=3𝑥−2𝑦=2𝑥+9B.{𝑦=3(𝑥−2)𝑦=2𝑥+9C.{𝑦=3𝑥−2𝑦=2𝑥−9D.{𝑦=3(𝑥−2)𝑦=2𝑥−9第3页，共25页11.如图，矩形纸片ABCD，AD：𝐴𝐵=√2：1，点E，F分别在AD，BC上，把纸片如图沿EF折叠，点A，B的对应点分别为𝐴′，𝐵′，连接𝐴𝐴′并延长交线段CD于点G，则𝐸𝐹𝐴𝐺的值为()A.√22B.23C.12D.√5312.定义一种运算：𝑎∗𝑏={𝑎,𝑎≥𝑏𝑏,𝑎𝑏，则不等式(2𝑥+1)∗(2−𝑥)3的解集是()A.𝑥1或𝑥13B.−1𝑥13C.𝑥1或𝑥−1D.𝑥13或𝑥−1二、填空题（本大题共6小题，共18分）13.要使分式1𝑥−2有意义，则x的取值范围是______．14.分解因式：𝑎2−4𝑏2=______．15.如图，从楼顶A处看楼下荷塘C处的俯角为45°，看楼下荷塘D处的俯角为60°，已知楼高AB为30米，则荷塘的宽CD为______米(结果保留根号)．16.为了庆祝中国共产党成立100周年，某校举行“党在我心中”演讲比赛，评委将从演讲内容，演讲能力，演讲效果三个方面给选手打分，各项成绩均按百分制计，然后再按演讲内容占50%，演讲能力占第4页，共25页40%，演讲效果占10%，计算选手的综合成绩(百分制).小婷的三项成绩依次是84，95，90，她的综合成绩是______．17.如图，从一块边长为2，∠𝐴=120°的菱形铁片上剪出一个扇形，这个扇形在以A为圆心的圆上(阴影部分)，且圆弧与BC，CD分别相切于点E，F，将剪下来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆半径是______．18.如图，已知点𝐴(3,0)，𝐵(1,0)，两点𝐶(−3,9)，𝐷(2,4)在抛物线𝑦=𝑥2上，向左或向右平移抛物线后，C，D的对应点分别为𝐶′，𝐷′.当四边形𝐴𝐵𝐶′𝐷′的周长最小时，抛物线的解析式为______．三、解答题（本大题共8小题，共66分）19.计算：23×(−12+1)÷(1−3)．20.解分式方程：𝑥𝑥+1=𝑥3𝑥+3+1．第5页，共25页21.如图，四边形ABCD中，𝐴𝐵//𝐶𝐷，∠𝐵=∠𝐷，连接AC．(1)求证：△𝐴𝐵𝐶≌△𝐶𝐷𝐴；(2)尺规作图：过点C作AB的垂线，垂足为𝐸(不要求写作法，保留作图痕迹)；(3)在(2)的条件下，已知四边形ABCD的面积为20，𝐴𝐵=5，求CE的长．22.某水果公司以10元/𝑘𝑔的成本价新进2000箱荔枝，每箱质量5kg，在出售荔枝前，需要去掉损坏的荔枝，现随机抽取20箱，去掉损坏荔枝后称得每箱的质量(单位：𝑘𝑔)如下：4.74.84.64.54.84.94.84.74.84.74.84.94.74.84.54.74.74.94.75.0整理数据：质量(𝑘𝑔)4.54.64.74.84.95.0数量(箱)217a31分析数据：平均数众数中位数4.75bc(1)直接写出上述表格中a，b，c的值．(2)平均数、众数、中位数都能反映这组数据的集中趋势，请根据以上样本数据分析的结果，任意选择其中一个统计量，估算这2000箱荔枝共损坏了多少千克？(3)根据(2)中的结果，求该公司销售这批荔枝每千克定为多少元才不亏本(结果保留一位小数)？第6页，共25页23.【阅读理解】如图①，𝑙1//𝑙2，△𝐴𝐵𝐶的面积与△𝐷𝐵𝐶的面积相等吗？为什么？解：相等.在△𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐵𝐶中，分别作𝐴𝐸⊥𝑙2，𝐷𝐹⊥𝑙2，垂足分别为E，F．∴∠𝐴𝐸𝐹=∠𝐷𝐹𝐶=90°，∴𝐴𝐸//𝐷𝐹．∵𝑙1//𝑙2，∴四边形AEFD是平行四边形，∴𝐴𝐸=𝐷𝐹．又𝑆△𝐴𝐵𝐶=12𝐵𝐶⋅𝐴𝐸，𝑆△𝐷𝐵𝐶=12𝐵𝐶⋅𝐷𝐹．∴𝑆△𝐴𝐵𝐶=𝑆△𝐷𝐵𝐶．【类比探究】如图②，在正方形ABCD的右侧作等腰△𝐶𝐷𝐸，𝐶𝐸=𝐷𝐸，𝐴𝐷=4，连接AE，求△𝐴𝐷𝐸的面积．解：过点E作𝐸𝐹⊥𝐶𝐷于点F，连接AF．请将余下的求解步骤补充完整．【拓展应用】如图③，在正方形ABCD的右侧作正方形CEFG，点B，C，E在同一直线上，𝐴𝐷=4，连接BD，BF，DF，直接写出△𝐵𝐷𝐹的面积．第7页，共25页24.2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情.如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线𝐶1：𝑦=−112𝑥2+76𝑥+1近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方4米处的A点滑出，滑出后沿一段抛物线𝐶2：𝑦=−18𝑥2+𝑏𝑥+𝑐运动．(1)当运动员运动到离A处的水平距离为4米时，离水平线的高度为8米，求抛物线𝐶2的函数解析式(不要求写出自变量x的取值范围)；(2)在(1)的条件下，当运动员运动的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米？(3)当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，求b的取值范围．25.如图①，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶于点D，𝐵𝐶=14，𝐴𝐷=8，𝐵𝐷=6，点E是AD上一动点(不与点A，D重合)，在△𝐴𝐷𝐶内作矩形EFGH，点F在DC上，点G，H在AC上，设𝐷𝐸=𝑥，连接BE．(1)当矩形EFGH是正方形时，直接写出EF的长；(2)设△𝐴𝐵𝐸的面积为𝑆1，矩形EFGH的面积为𝑆2，令𝑦=𝑆1𝑆2，求y关于x的函数解析式(不要求写出自变量x的取值范围)；第8页，共25页(3)如图②，点𝑃(𝑎,𝑏)是(2)中得到的函数图象上的任意一点，过点P的直线l分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于M，N两点，求△𝑂𝑀𝑁面积的最小值，并说明理由．26.如图，已知AD，EF是⊙𝑂的直径，𝐴𝐷=6√2，⊙𝑂与▱OABC的边AB，OC分别交于点E，M，连接CD并延长，与AF的延长线交于点G，∠𝐴𝐹𝐸=∠𝑂𝐶𝐷．(1)求证：CD是⊙𝑂的切线；(2)若𝐺𝐹=1，求cos∠𝐴𝐸𝐹的值；(3)在(2)的条件下，若∠𝐴𝐵𝐶的平分线BH交CO于点H，连接AH交⊙𝑂于点N，求𝐴𝐵𝑁𝐻的值．第9页，共25页第10页，共25页答案和解析1.【答案】D【解析】解：0是有理数．故选：D．根据有理数的定义，可得答案．本题考查了实数，无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限不循环小数．2.【答案】C【解析】解：由该几何体的主视图可知，该几何体是．故选：C．主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．依题意，该几何体的主视图为上下两个梯形，易判断该几何体是上下两个圆台组成．本题考查了由三视图判断几何体，考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也考查了空间想象能力．3.【答案】B【解析】解：画树状图如下：由树状图知，共有6种等可能结果，其中从C出口出来的有2种结果，所以恰好在C出口出来的概率为26=13，故选：B．画树状图，共有6种等可能结果，其中从C出口出来的有2种结果，再由概率公式求解即可．此题考查的是列表法或树状图法求概率以及概率公式．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．第11页，共25页4.【答案】C【解析】解：400000000=4×108，故选：C．科学记数法的表示形式为𝑎×10𝑛的形式，其中1≤|𝑎|10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．此题考查科学记数法的表示方法，关键是确定a的值以及n的值．5.【答案】A【解析】解：从图象可以看出，这一天中的最高气温是大概14时是8℃，最低气温是−4℃，从0时至4时，这天的气温在逐渐降低，从4时至8时，这天的气温在逐渐升高，故A正确，B，D错误；这一天中最高气温与最低气温的差为12℃，故C错误；故选：A．根据该市一天内的气温变化图，分析变化趋势和具体数值，即可求出答案．本题考查了函数的图象，认真观察函数的图象，从图象中得到必要的信息是解决问题的关键．6.【答案】A【解析】解：𝐴.𝑎2⋅𝑎3=𝑎5，故此选项符合题意；B.(𝑎2)3=𝑎6，故此选项不合题意；C.𝑎6÷𝑎2=𝑎4，故此选项不合题意；D.3𝑎2−2𝑎，不是同类项，无法合并，故此选项不合题意．故选：A．直接利用合并同类项法则以及幂的乘方运算法则、同底数幂的乘法除法运算法则计算得出答案．此题主要考查了合并同类项以及幂的乘方运算、同底数幂的乘法除法运算法则，正确掌握相关运算法则是解题关键．7.【答案】B【解析】解：点𝑃(3,4)关于中心对称的点的坐标为(−3,−4)．故选：B．第12页，共25页平面直角坐标系中任意一点𝑃(𝑥,𝑦)，关于原点的对称点是(−𝑥,−𝑦)，记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键．8.【答案】C【解析】解：连接OA，∵𝑂𝐶⊥𝐴𝐵，∠𝐵𝐴𝐶=30°，∴∠𝐴𝐶𝑂=90°−30°=60°，∵𝑂𝐴=𝑂𝐶，∴△𝐴𝑂𝐶为等边三角形，∵𝑂𝐶⊥𝐴𝐵，∴𝑂𝐷=12𝑂𝐶=2，故选：C．连接OA，证明△𝐴𝑂𝐶为等边三角形，根据等腰三角形的性质解答即可．本题考查的是垂径定理、等边三角形的判定和性质，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．9.【答案】D【解析】解：∵𝑘=20，图象过一三象限，𝑏=10，图象过第二象限，∴直线𝑦=2𝑥+1经过一、二、三象限，不经过第四象限．故选：D．根据k，b的符号确定一次函数𝑦=𝑥+2的图象经过的象限．本题考查一次函数的𝑘0，𝑏0的图象性质．需注意x的系数为1，难度不大．10.【答案】B【解析】解：设共有y人，x辆车，依题意得：{𝑦=3(𝑥−2)𝑦=2𝑥+9．故选：B．设