复旦大学高等数学教案09线性方程组

教案线性方程组教学内容线性方程组是最简单、最常见的方程组，关于它的解法和理论是线性代数的基础和基本工具，并广泛应用于生产实践之中。本节主要解答以下问题：（1）线性方程组何时有解，即有解的条件是什么？（2）如果线性方程组有解，会有多少解？（3）在线性方程组有解时，如何给出全部解？教学思路与要求（1）结合讲解齐次线性方程组的一般性解法，引入基础解系的概念，并指出其次线性方程组的解的结构；（2）由于上一部分内容比较抽象，因此要用具体实例详细说明求齐次线性方程组的基础解系的方法，以及通解的表示方法；（3）引入非齐次线性方程组的增广矩阵的概念，并证明非齐次线性方程组有解的充要条件；（4）讲解非齐次线性方程组的解的结构，由此引出并重点讲解非齐次线性方程组的解法；（5）结合实例讲解如何判断线性方程组有解、有唯一解及有无穷多解。教学安排一．齐次线性方程组现在考虑线性方程组,,,22112222212111212111mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa（4.6.1）可解的条件以及在有解的情况下求解的方法。上述方程组用矩阵表示为bAx，其中mnmmnnaaaaaaaaa212222111211A，xnxxx21，bmbbb21。可解的条件以及在有解的情况下求解的方法。先看齐次方程组0Ax的情况。显然它至少有平凡解0x，那么是否还有其它的解呢？利用第4节的结论便得到：定理4.6.1设A是nm矩阵，则齐次线性方程组0Ax的解存在且唯一（即只有零解）的充分必要条件是：rank(A)n，即A是列满秩的。推论4.6.1若齐次线性方程组0Ax中的方程个数少于未知量个数（即nm），则其必有非零解。当A不是列满秩时，设rank(A)nr，由定理4.5.3，存在A的一个r阶子式不等于零，不妨设0212222111211rrrrrraaaaaaaaa，否则只要进行适当的行交换或列交换就可以了（行交换相当于交换方程的次序，而列交换相当于交换变量的次序，这与原方程是同解的）。于是，A的前r行是极大无关组，可以由它们的线性组合表出第mrr,,2,1行，因此原方程组（4.6.1）与其前r个方程构成的方程组0,0,01122112112222212111111212111nrnrrrrrrrrnnrrrrnnrrrrxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxa（4.6.2）同解（请读者考虑为什么）。将其改写为.,,1122112112222212111111212111nrnrrrrrrrrnnrrrrnnrrrrxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxa（4.6.3）记rrrrrraaaaaaaaa21222211121111A，12Arnrrrrnrrnrraaaaaaaaa212221212111，1xrxxx21，2xnrrxxx21。则方程组（4.6.3）可以写成11A121Ax2x，因此得到21xxxrnIAA121112x。于是，只要确定了2x，就唯一确定了x。记),,,(2112111rnβββAA，这里iβ（rni,,2,1）为r维列向量。显然，2x可以是任意的rn维向量，所以方程组的解x有无穷多个。如取2x分别为rn维向量1e，2e，„，rne（ie的第i个分量为1，其余为0，rni,,2,1），由定理4.4.2，可得到一组线性无关的解)1(x11eβ，)2(x22eβ，„，)(rnxrnrneβ。（4.6.4）对方程组的任意一个解21xxx，记相应的2xrn21，即2xrniii1e，于是rnIAA12111rniii1ernii1irneIAA12111rnii1iieβ)(1irniix，所以，x能够由（4.6.4）线性表示。定义4.6.1若n维向量组)()2()1(,,,pxxx满足（1）每一个向量)(ix都是齐次线性方程组0Ax的解（pi,,2,1）；（2）向量组)()2()1(,,,pxxx线性无关；（3）齐次线性方程组Ax=0的任意一个解都能够用)()2()1(,,,pxxx线性表示，则称)()2()1(,,,pxxx为方程组Ax=0的一个基础解系，而称piiic1)(xx（ic是任意常数，pi,,2,1）为方程组Ax=0的通解。显然，求出了基础解系，就完全清楚了解的结构（要注意的是，2x不一定取为1e，2e，„，rne，也就是说，基础解系的形式是不唯一的）。综合以上推导便得到：定理4.6.2设A是nm矩阵，其秩为r（nr）。那么齐次线性方程组0Ax的每个基础解系中恰有rn个解)()2()1(,,,rnxxx，而且该方程组的任何一个解x都可以表为rniiic1)(xx，其中ic（rni,,2,1）是常数。推论4.6.2设A是nm矩阵，则齐次线性方程组0Ax当n)(rankA时只有唯一解x0；当n)(rankA时有无穷多组解。从以上推导中可以看出，当nr)rank(A时，为求方程Ax=0的基础解系，可先用初等行变换将它的系数矩阵化为（必要时要交换列的位置）OOBIr。此时，由),,,(21rnβββB的列向量iβ与ie合并组成的向量iieβ（rni,,2,1）就是齐次线性方程组0Ax的一个基础解系。注意，若有列交换时，相应的分量位置要作适当调整。例4.6.1求齐次线性方程组06711,06353,042115,02325432154321543214321xxxxxxxxxxxxxxxxxxx的一个基础解系。解由例4.5.2可知，可以通过初等行变换将系数矩阵6711116351342111502312A转化为000001415320012121910671111，再用初等行变换将此矩阵化为0000010001000116732151659329916403240。于是可得方程组的一组基础解系)1(x03215994032101321532993240，)2(x160759401611016716591640。因此方程组的通解为x)2(2)1(1xxcc（1c，2c是任意常数）。例4.6.2求齐次线性方程组0592,0232,042,032432143214214321xxxxxxxxxxxxxxx的通解。解通过初等行变换将系数矩阵5921232110421321A转化为000000001000212121，（4.6.5）再交换2和3列将此矩阵化为000000000102012121。因此方程组的一组基础解系为)1(x0012，)2(x102121。注意：因为交换了2和3列的位置，因此)1(x和)2(x的2和3行的位置也相应于矩阵进行了交换。因此方程组的通解为x)2(2)1(1xxcc（1c，2c是任意常数）。事实上，以矩阵（4.6.5）为系数矩阵的齐次方程为,021,021243421xxxxx（4.6.6）把方程组中含42,xx的项移到等号右边得.21,21243421xxxxx因此，齐次方程组的通解为12102100122121242442424321xxxxxxxxxxxx，其中2x，4x为任意常数。分别给42,xx以值1，0和0，1，又得到了基础解系)1(x0012，)2(x121021。这也是求基础解系和方程组通解的一种方法。二．非齐次线性方程组设A是nm矩阵，rank(A)r，b为m维列向量。定义4.6.2矩阵（A┆b）称为线性方程组bAx的增广矩阵。下面的定理说明，方程组bAx的可解性，是与其增广矩阵密切相关的。定理4.6.2线性方程组bAx的解存在的充分必要条件是：其系数矩阵的秩等于其增广矩阵的秩，即rank(A)=rank(A┆b)。证线性方程组bAx的解存在等价于b可以用A的列向量线性表示，这又等价于A的列向量组的极大无关组就是增广矩阵(A┆b)的列向量组的极大无关组，因此rank(A)=rank(A┆b)。证毕设0x是一个固定的向量，满足bAx0，我们称其为线性方程组bAx的一个特解。当nr时，对于bAx的任意一个解x，由于bbAxAxxxA00)(0，因此0xx是齐次方程组的解，由前面的叙述，它必可表示为0xxrniiic1)(x，其中)()2()1(,,,rnxxx为齐次线性方程组0Ax的一个基础解系。于是rniiic1)(0xxx（ic是任意常数，rni,,2,1），它称为非齐次线性方程组的通解。这说明，非齐次线性方程组的通解等于其相应的齐次线性方程组的通解加上该非齐次线性方程组的一个特解。推论4.6.3设A是nm矩阵，则非齐次线性方程组bAx当rank)(rankA(A┆b)时有解。此时，当n)(rankA时只有唯一解；当n)(rankA时有无穷多组解。实际求解的过程与齐次线性方程组的情况相仿，只是多求一步特解而已。设rank(A┆b)=rank(A)=r，并设0212222111211rrrrrraaaaaaaaa。将原方程组bAx转化为同解方程组,,,112211221122222121111111212111rnnrrrrrrrrrnnrrrrnnrrrrbxaxaxaxaxabxaxaxaxaxabxaxaxaxaxa（4.6.7）将其改写为,,,112211211222222121111111212111nnrrrrrrrrrrnnrrrrnnrrrrxaxabxaxaxaxaxabxaxaxaxaxabxaxaxa利用前面的记号，并记rbbb211b，便得到1111bxA212xA，令1b0，就得到类似（4.6.4）的齐次线性方程组的一组基础解系)1(x，)2(x，„，)(rnx。为求