第三章-第02节-应变分析

第三章金属塑性变形的力学基础第二节应变分析第一讲应变与小变形几何方程应变的基本概念小变形几何方程应变连续方程应变的基本概念P→P1拉长变细Q→Q1单元体取的方位不同，变形方式不同，歪斜了P→P1沿中心线压扁Q→Q1由于摩擦的作用，压扁且歪斜了R→R1成鼓形后有明显的角度偏转应变的基本概念P→P1剪斜了Q→Q1平移到Q1，未变形P→P1缩短且转动一角度Q→Q1转动一角度，但未变形由以上实例可以得到以下概念：2、变形正变形（线变形）：线性尺寸伸长或缩短切变形（角变形）：单元体发生畸变3、同一质点的不同方位，有不同的变形值4、物体变形时，单元体一般将同时发生平移、转动、正变形和剪变形。除去刚体位移后，才能得到纯变形。1、变形就是各点位移不同，致使各点相对位置发生变化。应变的基本概念应变的基本概念1、名义应变及其分量设单元体PABC→P1A1B1C1PA:rx→r1=rx+δr线变形(δr)：单元体棱边的伸长或缩短线应变（正应变—ε）：单位长度上的线变形棱边PA的线应变：xxxrrrrr1棱边PA在x方向的线应变：xxxrrzzzyyyrrrr应变的基本概念1、名义应变及其分量11PACCPA相对切应变（工程切应变）：xyyxyxyxyrrtan单位长度上的偏移量或两棱边所夹直角的变化量应变的基本概念1、名义应变及其分量)(21yxxyyxxyxyyxxy)(21xyyxzzyxyxzxyxyzzyzxyzyyxxzxyxijxzzxzyyzyxxy,,角标的意义：第一个角标表示线元（棱边）的方向，第二个角标表示线元的偏转方向。如γxy表示x方向的线元向y方向偏转的角度。)(212121)(212121)(212121;;xzzxxzzxxzzxzyyzzyyzzyyzyxxyyxxyyxxyzzzyyyxxxrrrrrr统称为应变分量。xzzxzyyzyxxyyyx,,,,,,,,应变的基本概念1、名义应变及其分量zzyzxyzyyxxzxyxij应变的基本概念2、对数应变及其分量00llln变形体由l0→ln可看作是经无穷多个中间数值逐渐变成。11223112001nnnllllllllllll应用微分的概念nllllldln0ln0——自然应变（对数应变），反映了物体变形的实际情况，也称真实应变。应变的基本概念2、对数应变及其分量对数应变的优点：1、表示变形的真实情况；2、具有可加性：总应变为各阶段应变之和。0l拉伸1l拉伸2l拉伸3l00303lll223231121200101;;lllllllll23120103232312120101ln;ln;lnllllll0303231201231201lnlnlnlnllllllll应变的基本概念2、对数应变及其分量对数应变的优点：1、表示变形的真实情况；2、具有可加性：总应变为各阶段应变之和。3、具有可比性：拉伸后再压缩至原长，对数应变相等，仅差一符号。l拉伸l2l2压缩l和%5022%;1002llllll%6921ln2ln%;692ln2lnllll质点M→M1——靠弹性或塑性变形实现。位移：变形体内任一点变形前后的直线距离(MM1)位移分量：在坐标系中，一点的位移矢量在三个坐标轴上的投影称为该点的位移分量。用u，v，w或ui表示。位移场：变形体内不同点的位移分量不同。根据连续性基本假设，位移分量应是坐标的连续函数，而且一般都有连续的二阶偏导数。),,(),,(),,(zyxwwzyxvvzyxuu或),,(zyxuuii小变形几何方程1、位移与应变变形体内无限接近两点的位移分量间的关系),,(zyxuuii),,('dzzdyydxxuuuuiiiiiijjiiiiiiiiiuudxxuzyxudxxudzzudyyudxxuzyxudzzdyydxxuu),,(21),,(),,('222jjiidxxuuM'点相对于M点的位移增量小变形几何方程1、位移与应变dzzwdyywdxxwwdzzvdyyvdxxvvdzzudyyudxxuu若无限接近的两点的连线MM'平行于某一坐标轴，例如MM'∥x轴，则dxxwwdxxvvdxxuu若已知变形物体内一点M的位移分量，则与其邻近一点M'的位移分以可以用M点的位移分量及其增量来表示。小变形几何方程1、位移与应变jjiidxxuu小变形几何方程2、小变形几何方程dzzwdyywdxxwwdzzvdyyvdxxvvdzzudyyudxxuudyyvvdyyuudxxvvdxxuubbcc,,小变形几何方程2、小变形几何方程xudxudxuuudxaccaccx21yvdyvdyvvvdyabbabby21小变形几何方程2、小变形几何方程dyvuvdyvvuuubabbbbbbyx2121tanyvyuyvdydyyuyx1)1(tandyyvvdyyuudxxvvdxxuubbcc,,1yyvyuyxyxtanxvxyxytan)(21xvyuyxxy)(21)(21)(21zuxwzwywzvyvxvyuxuxzzxzzyyzyyxxyx)(21ijjiijxuxu(3-66)(3-66a)yuyxyxtanxvxyxytan小变形几何方程2、小变形几何方程例一：矩形柱体在无摩擦的光滑平板间压缩。设：u,v,w线性分布,压下量δH:bazw当z=0时，w=0,z=H时，w=-δH所以：HHab,0小变形几何方程3、例题zHHw由体积不变条件：设压下量为δH时，长宽方向伸长2δL)()2(22HHLLHL展开，略去高阶微量HLHLLHLLHLLHHLHL222224444HHLL4设：u=cx+d当x=0时，u=0,得d=0当x=L/2时，LLcLu2,得xHHxLLu22同理：yHHv2小变形几何方程)(21)(21)(21zuxwzwywzvyvxvyuxuxzzxzzyyzyyxxyxxHHxLLu22yHHv20)(21HH0)(212HH0)(212HHzuxwzwywzvyvxvyuxuxzzxzzyyzyyxxyx小变形几何方程第三章金属塑性变形的力学基础第二节应变分析)(21)(21)(21zuxwzwywzvyvxvyuxuxzzxzzyyzyyxxyx知识回顾zzyzxyzyyxxzxyxij第二讲点的应变状态分析体积不变条件应变状态分析应变增量一点应变状态点的应变状态设任意点a(x,y,z)的应变分量：zzyzxyzyyxxzxyxij设线元ab=rr在三个坐标轴上的投影：dx,dy,dz方向余弦：rdznrdymrdxl;;2222dzdydxr长度：a)线应变变形后ab移至a1b1长度：rrr1在三个轴上的投影：dx+δu,dy+δv,dz+δw222212)(rrrrrrr)(2)()()(22222222221wdzvdyudxwvudzdydxwdzvdyudxr点的应变状态222212)(rrrrrrr)(2)()()(22222222221wdzvdyudxwvudzdydxwdzvdyudxr略去δr,δu,δv,δw的平方项wdzvdyudxrr两边同除以r2rwrdzrvrdyrurdxrrrwnrvmrulr)(222222wdzvdyudxdzdydxrrr2222dzdydxr点的应变状态rwnrvmrulrdzzwdyywdxxwwdzzvdyyvdxxvvdzzudyyudxxuunlzuxwmnywzvlmxvyunzwmyvlxurwnrvmrulr)()()(222)(21)(21)(21zuxwzwywzvyvxvyuxuxzzxzzyyzyyxxyx)(2222nlmnlmnmlzxyzxyzyx点的应变状态b)切应变(线元变形后的偏转角）引NM⊥a1b1….在ΔNMb1中，21221212)(MbuMbNbNMirMabaMb1111rNaMa112221212)()(ruMbNbNMirNMNaNMrr1sin22222121222)(rrurMbNbrNMirrrr2222)(rirru点的应变状态如果有刚体转动，jijjijijjijijijjijjiidxxuxudxxuxudxxuxuxudxxuu)(21)(21)](21[纯剪变形引起的位移增量刚性转动引起的位移增量去除刚性转动jijjijjiidxdxxuxuu)(21'所以2222)'(rirru结论：若一点互相垂直的三个方向上的应变分量已知，则该点任意方向应变可求。点的应变状态)(2222nlmnlmnmlzxyzxyzyx)(2222nlmnlmnmlzxyzxyzyxr2222)'(rirru222S点的应变状态塑性变形时的体积不变条件设单元体初始边长为dx,dy,dz变形前的体积dxdydzV0变形后边长dzdydxzyx)1(;)1(,)1(变形后的体积)1)(1)(1(1zyxdxdydzV展开，略去高阶微量)1(1zyxdxdydzV体积变化率zyxVVV001在弹性变形中，θ可正可负，在塑性变形中，认为体积不变θ为零。体积不变条件为0zyx塑性变形时，三